Question

设F1 F2为双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足PF1*PF2=0, 向量PF1 的绝对值*向量PF2的绝

设F1 F2为双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足PF1*PF2=0, 向量PF1 的绝对值*向量PF2的绝对值=2，则a的值为？

Answer 1

因为PF1*PF2=0，所以PF1垂直于PF2，即三角形PF1F2为直角三角形。令|PF1|=m,|PF2|=n,则mn=2,m^2+n^2=|F1F2|^2=20a,又由双曲线的定义可知：|m-n|＝4√a,两边同时平方得：
m^2-2mn+n^2=16a,则20a-4=16a,所以a=1

Answer 2

X^2-4y^2=4a，
X^2/(4a)-y^2/a=1.c^2=5a.
PF1*PF2=0,所以PF1与PF2垂直。
则| PF1|^2+| PF2|^2=(2c)^2=20a.
根据双曲线定义可知|| PF1|-| PF2||=2√a,
平方得：| PF1|^2+| PF2|^2-2| PF1|| PF2|=4a,
由已知| PF1|| PF2|=2，
所以20a-4=4a,a=1/4.

追问

可正确答案不是1/4啊！

Answer 3

双曲线x2-4y2=4a
x^2/4a-y^2/a=1
c^2=5a
设|PF1|=m
|PF2|=n
向量
PF1*向量PF2=0
则
PF1⊥PF2
三角形PF1F2为直角三角形，F1F2为斜边
m^2+n^2=F1F2^2=4c^2=20a
(1)
双曲线定义
|m-n|=4√a
m^2-2mn+n^2=16a
(2)
(1)-(2)
得
2mn=4a
mn=2a
向量PF1
的绝对值*向量PF2的绝对值=2a