Question

在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(-2,4),直线X=-2与X轴相交与点B,连结OA,抛物线y＝x^2从点O沿OA的方

OA的方向平移，与直线x＝-2交于点P，顶点M到达点A时停止移动．
(1)求线段OA所在直线的解析式．
(2)设抛物线顶点M的横坐标m：
①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短．
(3)当线段PB最短时，在抛物线对称轴右侧是否存在点Q，使得△PMQ为直角三角形。

Answer 1

(1)y=-2x
(2)抛物线还未移动时过O点，且沿OA方向平移，所以顶点M在OA上。
M的坐标（m，-2m）用顶点式表示抛物线方程：y＝（x-m）^2-2m
y＝（x-m）^2-2m与x=-2联立求解，得P的坐标（-2，m^2+2m+4）m大于等于-2，小于等于0
PB^2=m^2+2m+4=（m+1）^2+3，则m=-1时，PB最短
(3)PB最短时，抛物线方程y＝x^2+2x+3，对称轴为x=-1
M（-1,2）P（-2,3）
若角QPM为直角，Q（-1,4）在对称轴上，不符
若角PQM为直角，Q（-1,3）在对称轴上，不符
若角PMQ为直角，Q（0,3）在对称轴右侧符合
所以存在Q（0，3）.
画个图比较明显（不过我不会用电脑画啦，不然直接画给你了）

追问

答案还有个（1，6）

追答

姐姐我很久没做数学题了，不好意思啊，漏了一解。
Q（1,6）也是角PMQ为直角的情况。
其实我做的第三问有点偷工减料，应该设Q的坐标，把三条边的长度都表示出来，分别假设PM，PQ，MQ为直角边，用勾股定理列出等式，求解，这样就不会漏解了！

追问

给点详细的过程吧 谢谢咯
三条边的长度怎么表示？？？？？？

追答

M（-1,2）P（-2,3）
设Q（a，a^2+2a+3）
PM^2=2
MQ^2=（a+1）^2+（a^2+2a+1）^2=（a+1）^2+（a+1）^4
PQ^2=（a+2）^2+（a^2+2a）^2
Q在对称轴右侧，需满足a大于-1。
再用勾股定理：角PMQ为直角PM^2+MQ^2=PQ^2 Q（0，3）（1,6）
角QPM为直角PM^2+PQ^2=MQ^2
角PQM为直角MQ^2+PQ^2=PM^2
差不多就这样吧

追问

Q点也在抛物线上吗？