Question

对数函数大小比较 “题目求详细解” 已知a>b>1,P=根号(lga*lgb),Q=1/2(lga+lgb),比较大小。求详细过程。

Answer 1

解：a>b>1
所以：lga>lgb>0
根据不等式x²+y²>=2xy可知
根号(lga*lgb)<1/2(lga+lgb),(lga>lgb所以不取等号）
即，P<Q

追问

为什么 根号ab>(a+b)/2 和 根号（lga*lgb）b>1 lga>lgb>0

追答

根号ab=0
a²+b²-2ab>=0
所以：a²+b²>=2ab
同理，当a>b>0时
a+b>=2根号ab

追问

那后面那个 根号（lga*lgb）<(lga+lgb)/2 呢？~头好痛啊......都快高考了，不知道要怎么死啊........

追答

放松~~哈哈。
前边推导的x2+y2>=2xy （1）明白么？
因为lga>lgb>0
所以，我们可以令x2=lga，y2=lgb，代入（1）
lga+lgb>=2根号lga*lgb
但是只有lga=lgb才能取等号。
所以lga+lgb>2根号lga*lgb
同除以2
（lga*lgb）<(lga+lgb)/2

Answer 2

已知a>b>1
lga>lgb>0
Q=1/2(lga+lgb)>(1/2)*2√(lga*lgb)=√(lga*lgb)=P
∴Q>p

追问

为什么 根号ab>(a+b)/2 和 根号（lga*lgb）b>1 lga>lgb>0

追答

a和b不等，才有>
否则要≥

Answer 3

证明：分别把P，Q平方。
p^2=lga*lgb
Q^2=(1/4)(lga+lgb)^2
则Q^2-P^2=(1/4)(lga-lgb)^2
因为a>b>1 所以，Q^2-P^2>0 (Q,P均大于零) Q>P

追问

为什么 根号ab>(a+b)/2 和 根号（lga*lgb）b>1 lga>lgb>0

Answer 4

前式＝lg[(a+b)/2];画出lg x的图像，选出x轴上两点a>b>1，点出中间值(a+b)/2，找到曲线上对应横坐标a,b,(a+b)/2的三个点A,B,C，连接AB，取出AB中点D，为1/2*(lga+lgb)的位置，比较C,D两点的高低，可以得到C高于D，即两式前者大