Question

已知函数f(x)=3x/a-2x^2+lnx,其中a为常数,e为自然数的底数 (1)若a=1,求数列f(x)

已知函数f(x)=3x/a-2x^2+lnx,其中a为常数,e为自然数的底数
(1)若a=1,求数列f(x)的单调区间
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上单调函数,求a取值范围
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Answer 1

（1）先求导数
递增区间为（0,1），递减区间为（1，无穷）
（2）求导
分单调递增和单调递减讨论
递增时，3/a-7.5>=0; a>0
递减时，3/a-3<=0
综合解得 a<=0.4或a>=1

追问

递增时，3/a-7.5>=0; a>0
递减时，3/a-3=1 什么意思？

追答

导函数为g(x)=3/a-4*x+1/x
当函数单调递增时，g(x)>=0在[1,2]上恒成立
当函数单调递减时，g(x)<=0在[1,2]上恒成立
以此来解决此问题

追问

当函数单调递增时，g(x)>=0在[1,2]上恒成立
当函数单调递减时，g(x)<=0在[1,2]上恒成立
就是这里不会。。

追答

将g(x)看成 g(x)=3/a-(4*x-1/x)
在[1,2]上 (4*x-1/x) 的最大值为7.5，最小值为3
当它单调递增时，3/a 大于(4*x-1/x)的最大值
3/a>=7.5 且a>0
解得a=1或者a=1
忘记补充一点了 a!=0

Answer 2

（1）当a=1,f'(x)=[（1+4x）*（1-x）]/x^2;当x<=-1/4时,f'(x)>0,当0>x>-1/4时f'(x)<0;当1>x>=0时f'(x).>0;当x>1时f'(x)<0;所以在定义域内（0 1）递增；（1 ∞）递减；
（2）f'(x)=3/a+（1/x-4x）设g(x)=（1/x-4x）;g'(x)=-1/x^2-4 所以g(x)为单调递减函数；在（1 2）内函数g(x)的值域为（-15/2 -3) 令f'(x)>0有 0<a<=2/5 令f'(x)<0有a>=1 ；所以a的取值范围为（0 2/5）&（1 ∞）