Question

【急！】九年级数学证明题，急求！！！

已知如图，△ABC内接⊙O，AB为直径，线CE⊥AB于F，C是AD的中点，连接BD并延长EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q。 1.求证：P是△ACQ的外心； 2.若tan∠ABC=3/4，CF=8，求CQ的长； 3.求证：（FP+PQ）²=FP×FG 图片：
PS：前两个问题可以不用答……如果答的话可以追加30分……谢了。

Answer 1

（1）由于AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD=弧AE，即∠PAC=∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC=∠PCQ，由此可证得AP=PC=PQ，即P是△ACQ的外心；
（2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
（3）由（1）知：PQ=CP，则所求的乘积式可化为：PC²=FP×FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：PC²=AF×FB，因此只需证明AF×FB=FG×FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB．

（1）证明：∵C是 AD的中点，∴ AC²=CD²，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴ AC²=AE²
∴ AE²=CD²
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC= CF/BF=3/4，CF=8，
得 BF=4/3CF=32/3．
∴由勾股定理，得 BC=CF²+BF²=40/3
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC= AC/BC=3/4， BC=40/3
得 AC=3/4BC=10．
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC²=CQ×BC
∴ CQ=AC²/BC=15/2．

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴ AFFG=FPBF，即AF×BF=FP×FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴FG²=AF×BF（或由射影定理得）
∴FC²=PF×FG
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）²=FP×FG

Answer 2

孩子，你题抄错了，按照你题目中的叙述，P,C,Q这三个点是一个点……

追问

画图技术差……见谅= =继续解答……Please！Thanks

追答

不是画图的问题啊，是你把“C是弧AD的中点”抄成“C是AD中点”了啊，楼下大神答的不错，给他分吧

Answer 3

我只能说 孩子 好好学习 问你同位 或者老师

Answer 4

不好意思，我才初二，还没学，只算是略懂略懂，所以……