Question

请用判别式法计算 ！已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么向量PA*PB 的最小值为

请用判别式法计算 ！已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么向量PA*PB 的最小值为

为什么x^4 可以直接用判别式 不用考虑x^4取值范围？？

Answer 1

这是2010年高考题全国卷里的一道选择题。
x^2的取值范围要考虑！
请你看我下面的详细解答：

设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。

故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2