Question

三角形ABC中，∠C＝90°,BC＝2,AC＝4,A、C分别在x轴y轴上运动，求运动过程中，点B到原点的最大距离

答案我知道是2+2√2，但为什么OB就一定能达到2+2√2呢，OB的最大值也可能小于2+2√2，难道是碰巧做出来的？

Answer 1

【艾邦知道】

题目：三角形ABC中，∠C＝90°,BC＝2,AC＝4,A、C分别在x轴y轴上运动，求运动过程中，点B到原点的最大距离

解：根据题意，如下图所示，

可以看出AB^2=2^2+4^2=20     （注：^代表 次方）

那么AB=2√5                 (注：√代表 根号)

设A(a,0),C(0，c)，易知a^2+c^2=4^2=16

那么，以得出直线BC 的方程;y=(a/c)x+c,

并且B在以A为圆心半径为2√5的圆（x-a）^2+y^2=20上，

联立两式，易得，

x=c/2,y=a/2+c,

那么，又因为a^2+c^2=4^2=16，

于是可以令a=4sinɑ,c=4cosɑ,

那么B（2cosɑ，2sinɑ+4cosɑ）

而OB的距离^2=（2cosɑ）^2+(2sinɑ+4cosɑ)^2=8sin2ɑ+8cos2ɑ+12=8√2sin(2ɑ+∏/4)+12     （注： ∏是pai）

易知OB^2的最大值是8√2+12（当且仅当sin(2ɑ+∏/4)=1时）

那么易知OB的最大值是2√2+2. （原因（2√2+2）^2=8√2+12）

OK!大功告成，不懂追问吧，呵呵…

追问

其实我自已已经用代数方法做出来了，比你的要简单，你的我也看的懂，只是有种几何方法有疑问

Answer 2

显然，当OB取得最大值时，点O、B位于AC的两侧。

如图，取AC中点D，连接OD，BD

当A、C在x轴、y轴上运动时，

BD^2=BC^2+CD^2，BD=2√2是定值

OD=1/2AC=2是定值

所以BD+OD=2+2√2是定值

显然，当点O、D、B在一条直线上时与OB重合，OB取得最大值

所以OB的最大值=2+2√2

Answer 3

我没算出2+2√2来，我算最大距离是4.
换个角度看，原点一定在以AC为直径的圆上运动，而B也是圆上一点，所以，OB最大距离就是直径AC=4

Answer 4

题目条件就没给够