Question

若f(x)可导，f'(x)=0，lim(x趋于0)f'(x)/x=-1，求证:f(0)是极大值。

能不能详细点?谢谢，高中数学

Answer 1

因为lim(x趋于0)f'(x)/x=-1
利用洛必达法则，lim(x趋于0)f"(x)/1=-1
所以f"(0)=-1，即f(x)在x=0的某一邻域内是上凸的
所以f(0)是极大值

Answer 2

由极限的保号性，存在x＝0的一个去心邻域，在此去心邻域内，f'(x)/x＜0。所以在x＝0的左侧临近，f'(x)＞0；在x＝0的右侧临近，f'(x)＜0。由极值的第一充分条件，f(0)是极大值

Answer 3

lim(x趋于0)f'(x)/x=-1可以知道f''(0)=-1
即函数f'(x)在x=0这一点的导数是负的
又因为f'(0)=0,这就说明函数f'(x)在x<0且趋近于0的时候是正的，在x>0且趋近于0的时候是负的
则又说明了f(x)在x<0且趋近于0的时候是递增的，在x>0且趋近于0的时候是递减的，结合f'(0)=0可得f(0)是极大值