Question

为什么lim(x→+∞)(x^（1/ x）)=1？

Answer 1

lim（x→+∞）（x^（1/x））

=lim（x→+∞）（e^（ln（x^（1/x）））

=e^（lim（x→+∞）（ln（x^（1/x）））

=e^（lim（x→+∞）（（lnx）/x））

而lim（x→+∞）（（lnx）/x）是∞/∞类型，分子分母分别求导数得到lnx的导数是1/x，x的导数是1

所以lim（x→+∞）（（lnx）/x）=lim（x→+∞）（（1/x）/1）=lim（x→+∞）（1/x）=0

所以lim（x→+∞）（x^（1/x））==e^（lim（x→+∞）（（lnx）/x））=e^0=1

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 2

方法如下，请作参考：

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