Question

高中数学求解

1：若直线C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切，且圆心在直线x+y=0上。囚求圆的标准方程
2：已知点P（3,2）。与Q（1,4）关于直线l对称求L方程
3：已知圆C的圆心点与点p（-2,1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=o于圆C相较于AB且ABl=6，求圆C方程

受累写详细一点，从第一步开始怎么求的圆心的原理。我这块不怎么懂，给100分！
第三题是AB绝对值等于6

Answer 1

1：若圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切，且圆心在直线x+y=0上。求圆的标准方程
因为圆心在直线x+y=0上，设圆心的坐标为（a,-a)，圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切，即圆心到两直线距离相等且等于半径，
故｜a+a|/√2＝｜a+a-4｜/√2
∴a=1
∴｜a+a|/√2＝√2
圆的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=2
2：已知点P（3,2）。与Q（1,4）关于直线l对称求L方程
∵点P（3,2）。与Q（1,4）关于直线l对称
∴PQ的中点在L上，即（2,3）在L上，KPQ＝2/（-2）＝－1，
∴KL＝1
∴L的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0
3：已知圆C的圆心点与点p（-2,1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=o于圆C相较于AB且ABl=6，求圆C方程
设圆心为(a,b)，则与点p（-2,1）的中点为（(a+2)/2,(b-1)/2)在直线y=x+1上，故
(b-1)/2＝(a+2)/2+1，即a-b+5=0
K=(b-1)/(a+2)=-1,即a+b+1=0
解得a=-3,b=2
圆的方程为(x+3)^2+(y-2)^2=R^2
圆心到直线的距离为：｜-3*3+2*4+11｜/√（3＾2＋4＾2）＝2
故解直角三角形得R＾2＝2＾2+（6/2）＾2＝13
故圆的方程为(x+3)^2+(y-2)^2=13

Answer 2

设圆的标准方程为x^2+y^2=r^2 圆心坐标为（a，b)
因为圆和直线相切，所以圆心到直线的距离相等
有 /a-b//gen2=r /a-b-4//gen2=r （ 点到直线距离公式可求得）
圆心在直线上 a+b=0
从上面的式子中可以求到 a=0 b=0 r=2gen2 r=0舍弃 gen 是根号的意思
所以有圆标准方程x^2+y^2=8
2
关于两点关于直线对称求直线可从题意得到两个条件，就是两点的中点坐标在直线上和直线与两点所连成的直线的是垂直的，就是斜率相乘等于-1
所以可得 中点坐标为(2 ,3) 斜率为1 设直线为y=kx+b 就可求得 y=x+1
3
设圆c的方程为x^2+y^2=r^2 圆心坐标为（a，b)
圆心和点关于直线对称，跟2相同可以求得a=0 b=-1
将圆心代人直线3x+4y-11=0知，圆心不在直线上，所以，AB不是直径 AB是一条弦
AB=6 AB/2=3
而圆心到直线直线3x+4y-11=0距离可以通过公式求得等于3
根据勾股定理，可以求半径的平方3^2+3^2=18
所以有x^2+y^2=18

Answer 3

一。
设圆心C(t,-t)
由圆心到两切线距离相等，得
|t+t|/√2=|t+t-4|/√2
解得t=1
则C(1,-1)，半径√2
所以圆方程(x-1)^2+(y+1)^2=2

二。
由已知，直线l是线段PQ的中垂线
PQ向量=(-2,2)， PQ中点(2,3)
所以l方程、-2(x-2)+2(y-3)=0
整理、x-y+1=0

三。
设圆心C(x,y)
由CP垂直于直线y=x+1，且CP中点在该直线上
可以列出两个方程
(y-1)/(x+2)=-1
(y+1)/2=(x-2)/2+1
解出C(0,-1)

过C作直线3x+4y-11=0的垂线，垂足为D。连接AC
则由点到直线距离公式得，
|CD|=|-4-11|/5=3
又|AD|=|AB|/2=3
所以在直角三角形ACD内，半径|AC|=3√2

所以圆方程、
x^2+(y+1)^2=18

Answer 4

x-y=0,x-y-4=0
y=x,y=x-4,
y=x-4交x轴于A(4,0),OA中点B(2,0)
那么过B中点平行y=x直线l为:y=x-2
l到y=x距离为d=2cos(arctan1)=2cos45=√2
y=x-2和x+y=0交点为(1,-1)
圆的方程为
(x-1)^2+(y+1)^2=(√2)^2=2
2
PQ中点M为(2,3)
PQ直线: y-2=[(4-2)/(1-3)](x-3)斜率为-1
过M垂直PQ的直线L为:
y-3=(-1/(-1))(x-2)
所求直线L为y=x+1
3
过P(-2,1)垂直直线y=x+1的直线l1为
y-1=(-1/1)(x+2)
y=-x-1
l1与y=x+1交于M(-1,0)
M为PC中点
Cy=2My-Py=-1
Cx=2Mx-Px=0
C(0,-1)
过C垂直3x+4y-11=0的直线l2为:
y+1=[(-1)/(-3/4)]x
y=4x/3-1
l2和3x+4y-11=0交于N(-9/5,-17/5)
CN^2=9^2/5^2+12^2/5^2=15^2/5^2=9
NA=AB/2=3
R^2=NA^2+CN^2=9+9=18
所求圆C方程为:
x^2+(y-3)^2=18

Answer 5

1.2题。楼上的朋友都解答正确。称赞！
3题方法也正确。只是计算有误。
解答如下：
设圆心为(a,b)，则与点p（-2,1）的中点为（(a-2)/2,(b+1)/2)在直线y=x+1上，故
(b+1)/2＝(a-2)/2+1，即a＝b+1
K=(b-1)/(a+2)=-1,即a+b+1=0
解得a=0,b=-1
圆的方程为x^2+(y+1)^2=R^2
圆心到直线的距离为：｜0*3+(-1)*4-11｜/√（3＾2＋4＾2）＝3
故解直角三角形得R＾2＝3＾2+（6/2）＾2＝18
故圆的方程为x^2+(y+1)^2=18