Question

用基本不等式证明：

已知M(cosa,sina)在直线x/a+y/b=1上，求证：(1/a)^2+(1/b)^2≥1
(怎么用基本不等式求解？貌似要用到不常用的不等式)
如何用加权平均数与算术平均数求解？？？！！！提高赏金啦!!!

Answer 1

∵M(cosa,sina)在直线x/a+y/b=1上
∴(cosa)/a+(sina)/b=1
∵(1/a)^2+(1/b)^2
=(sin^2a+cos^2a)/a^2+(sin^2a+cos^2a)/b^2
=(sin^2a)/a^2+(cos^2a)/b^2+(cos^2a)/a^2+(sin^2a)/b^2
≥(2sinacosb)/ab+(cos^2a)/a^2+(sin^2a)/b^2
=[(cosa)/a+(sina)/b]^2=1
∴(1/a)^2+(1/b)^2≥1

Answer 2

办法1，由题意x/a+y/b=1，且x^2+y^2=1。
柯西不等式告诉你：（x^2+y^2）（(1/a)^2+(1/b)^2）>=（x/a+y/b）^2
于是(1/a)^2+(1/b)^2≥1

办法2，又因为由于基本不等式有：
x^2+(1/a)^2>=2（x/a），y^2+(1/b)^2>=2（y/b）
由题意x/a+y/b=1，且x^2+y^2=1。
两式相加我们得到(1/a)^2+(1/b)^2≥1

Answer 3

恩 得用到柯西不等式的 就是(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 可以自己证明的 什么时候取的=号