Question

求函数y=sinx*cos²x,x属于(0,π/2)的最大值

Answer 1

y=sinx*(cosx)^2=sinx*[1-(sinx)^2]=sinx-(sinx)^3

因为x∈(0,π/2)
所以0＜sinx＜1
令t=sinx(0＜t＜1)
则y=t-t^3
求导，y'=1-3t^2
令y'=0得t=√3/3
所以t∈(0,√3/3)时单调递增，t∈(√3/3,1)时单调递减

故最大值为y(√3/3)=√3/3-(√3/3)^3=2√3/9

Answer 2

y=sinx*cos²x=sin x cos x cos x
= sin x [1 - (sin x)^2] ,
设t=sin x ,
因为x属于(0,π/2)，
所以sinx 属于[0,1],
即t∈[0 , 1] ,
sinxcosxcosx=sinx[1 - (sin x)^2]
= t (1- t^2)=t-t^3 ,
设f(t)=t-t^3 ,
则f`(t)=1 - 3 t^2
=1- (√3t)^2,
因为t∈[0 , 1] ,
令f`(t)=0 ,得 t = ± √3 / 3 ,
当 0 ≤ t ≤ √3 / 3 时，f`(t) ≥ 0 ,
当 √3 / 3 ≤ t ≤ 1 时，f`(t) ≤ 0 ,
所以 t = √3 / 3 时， f(x) 取得最大值，此时
f(√3 / 3) = √3 / 3 - (√3 / 3)^3 = 2 / (3 √3) .
因为 t = sin x = √3 / 3 ，
所以 x = arcsin (√3 / 3) 时，原式取最大值，为2 / (3 √3) 。

Answer 3

y=sinx . cos²x
y' = -sinx( 2cosxsinx) + (cosx)^2cosx
= cosx(-2(sinx)^2 + (cosx)^2 )
= cosx ( 1-3(sinx)^2 )
y' =0
=> cosx ( 1- 3(sinx)^2 ) =0
(sinx)^2 = 1/3
x = arcsin(1/√3)
y''(arcsin(1/√3)) <0 (max)

max y at x=arcsin(1/√3)
y(arcsin(1/√3))
= (1/√3 ) ( 2/3) = 2√3/9