Question

三次样条函数的求导过程，及程序请帮忙指导一下

Answer 1

这个可以参考一下。
已知速度曲线v(t) 上的四个数据点下表所示

基本原理：
利用插值（即求过已知有限个数据点的近似函数）的基本原理，用多项式作为研究插值的工具，进行代数插值。其基本问题是：已知函数f (x)在区间[a,b]上n +1个不同点x0，…，xn处的函数值 (i = 0,1,…,n)，求一个至多n 次多项式 ψn(x)
使其在给定点处与 f (x)同值，即满足插值条件: ψn(x)= = .
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间[a,b]
的一个分划
Δ:
如果函数s(x) 满足：
（i）在每个小区间[ ](i=0,1,…,n)上s(x)是k 次多项式；
（ii）s(x)在[a,b]上具有k −1阶连续导数。
则称s(x)为关于分划Δ 的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。

基本思路：

根据插值的基本原理，先对v进行三次样条插值，可以得到许多v(t)的值；然后根据积分的基本原理，分割、近似、求和、取极限，可以求得积分。根据求导原理，因变量的微小变化量与自变量变化量的商，可以求得所求点的导数值。

程序代码：
t0=[0.15 0.16 0.17 0.18];v0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
t=0.15:0.0001:0.18;
%三次样条插值；

v=interp1(t0,v0,t,'spline');
v=spline(t0,v0,t);
pp=csape(t0,v0,'second');v=ppval(pp,t)% 使用csape函数；

S=sum(v)*0.0001;%求积分值
T=(v(301)-v(300))/0.0001;%求导数值
Plot(t0,v0,’*’,t,v);