Question

帮帮我解一道高等代数题目呀

一．设＆为欧几里得空间的正交边换，证明：＆的不变子空间的补空间也是＆的不变子空间．

Answer 1

设W是＆的任意一个不变子空间，ε1，ε2，......，εm是W的一组标准正交基，把它扩充成＆的一组标准正交基ε1，ε2，......，εm，εm+1，......，εn .
于是W＝L(ε1，ε2，......，εm),W┻＝L(εm，......，εn)。
又因为＆为欧几里得空间的正交边换，
所以＆(ε1)，＆（ε2），......，＆（εn）也标准正交基。
而W是＆的任不变子空间，
所以＆(ε1)，＆（ε2），......，＆（εm）也是W的一组标准正交基，
另外＆(εm+1)，......，＆（εn）∈W┻，
（因为＆(ε1)，＆（ε2），......，＆（εm）是W的正交基）
于是对于任意的α＝(am+1εm+1)+(am+2εm+2)+......+(anεn)∈W┻，
有＆α＝＆(am+1εm+1)+＆(am+2εm+2)+......+＆(anεn)∈W┻，
所以W┻是＆的不变子空间。