Question

如下图,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°

求证：BE+DF=EF

Answer 1

延长CD到点G，使BG=DF
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABG=∠D，AB=AD,∠BAD=90°
在△ABG与三角形ADF中，AB=AD,∠ABG=∠D，BG=DF
∴△ABG≌△ADF(SAS)
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG
∵∠EAF=45°
∴∠BAE+∠DAF=45°
∴∠GAB+∠BAE=45°,即∠GAE=∠FAE
所以△AGE≌△AFE(SAS)
∴GE=FE,∴BE+DF=EF

Answer 2

证明：1,延长CB到P,使BP=DF,AD=AB
⇒RT△ADF≅RT△ABP⇒DF=BP AF=AP ∠DAF=∠BAP
∠DAB=90° ∠EAF=45°
⇒∠DAF+∠EAB=45°=∠BAP+∠EAB=∠EAP=∠EAF
AE=AE
⇒△AFE≅△APE⇒PE=FE
∴EF=BE+DF