Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，试求出Q点坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，且S△PAC:S△PAB=1:3。若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点B在x轴上，
∴0=x-3，
∴x=3，
∴点B的坐标为（3，0）；
∵点C在y轴上，
∴y=0-3=-3．
∴点C的坐标为（0，-3）；
∵抛物线y=x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，-3），
∴ {9+3b+c=0c=-3，
解得：b=-2，c=-3；
∴此抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3．

（2）过点P作PM⊥OB于点M；
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴OB=3OC=3
∵S△PAC= 12S△PAB，
∴S△PAB= 23S△ABC
∵S△ABC= 12×AB×OC，S△PAB= 12×AB×PM，
∴ 12×AB×PM= 23× 12×AB×OC，
∴PM= 23OC=2

追问

3）在直线BC上是否存在一点P，且S△PAC:S△PAB=1:3。若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 2

做题最重要的是思路 是方法，如了解 便可举一反三
1.解析式和顶点坐标就是要求b,c两未知需要两方程 由题中直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点可求出B,C的坐标 带入即可求出解析式，再由对称轴x=-b/(2a)带入解析式，求出顶点坐标。
2.点Q在对称轴上， C点关于对称轴对称的点C‘与A的直线连接与对称轴的交点为Q，（两点之间直线最短）
3.S△PAC:S△PAB=1:3，高相等，故只需底边为1:3，故将CP:PB=1:3为P点

希望你能明白，做题是方法思路，不在于题多，要知道为什么，不要只知道怎么做~