Question

过椭圆x∧2/9+y∧2=1的左焦点F作弦AB，若|AB|≤2，求直线AB的倾斜角α的取值范围

Answer 1

过椭圆x∧2/9+y∧2=1的左焦点F作弦AB
F -2√2，0
y=k(x+2√2)
联立方程
x^2/9+k^2(x+2√2)^2=1
(k^2+1/9)x^2+4√2k^2x+2k^2-1=0
由|AB|≤2 AB^2≤4
设A：x1，y1
B：x2，y2
（y2-y1）^2+(x2-x1)^2≤4
∵y1=k(x1+√2)
y2=k(x2+√2)
∴y2-y1=k(x2-x1)
k^2(x2-x1)^2+(x2-x1)^2≤4
(k^2+1)(x2-x1)^2≤4
由两根差公式|x2-x1|^2=△/a^2
△=4k^2/9+4/9
△/a^2=(4k^2/9+4/9)/(k^2+1/9)^2≤4
k∈(-∞,-1/√3]∪[1/ √3,+∞)
倾斜角范围：[5π/6,π/6]
注：当k趋向于无穷，倾斜角为90°
倾斜角　　
直线的倾斜角α取值范围： 　　0°≤α<180°

Answer 2

等等啊
F(-2√2，0)
设AB：y=k(x+2√2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)
联立直线椭圆，得
(9k²+1)x²+36√2k²x+72k²-9=0
则
x1+x2=-36√k²/(9k²+1)，
x2x2= (72k²-9)/(9k²+1) ，
∴|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1-x2)²+[k(x1+2√2)-k(x2+2√2)]²
=(1+k²)(x1-x2)²
=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=(1+k²) {[36√k²/(9k²+1)]²-4×(72k²-9)/(9k²+1)}
=(1+k²) [2592k^4 - 4×(72k²-9)(9k²+1)]/(9k²+1)²
=(1+k²)(36k²+36)/(9k²+1)²
=36(1+k²)²/(9k²+1)²
≤4
即：9(1+k²)²≤(9k²+1)²
即：(3+3k²)≤(9k²+1)²
∴ (3+3k²)-(9k²+1)²≤0
(3+3k²-9k²-1)(3+3k²+9k²+1)≤0
3+3k²-9k²-1≤0
6k²≥2
k²≥1/3
-√3/3≤k≤√3/3
∴-π/6≤α≤π/6

Answer 3

椭圆x²/9＋y²=1的左焦点是(－2√2，0)。①若直线AB斜率不存在即倾斜角是π/2时，此时|AB|=2/3，满足；②若直线AB的斜率存在，设直线AB是：y=k(x＋2√2)，代入椭圆方程中，化简得：(9k²＋1)x²＋36√2k²x＋9(8k²－1)=0。|AB|=√(1＋k²)|x1－x2|=√(1＋k²)√[36(k²＋1)]/[9k²＋1]≤2，
6[1＋k²]≤2(9k²＋1)，即：k²≥1/3，|k|≥√3/3，倾斜角范围是[π/6，π/2)∪(π/2，5π/6]。
综合下，有：[π/6，5π/6]。