Question

已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交A B两点 与Y轴交于C点 定点为(1,-4)

第一问省略,
(2)若P为抛物线上一点,连AP交y轴于Q且APxAQ=4 求P点坐标
(3)将抛物线向右平移得Y=x²+mx+n 平移后得抛物线与元抛物线的交点为G,与Y轴得交点为A1B1 若△AGB1为等腰直角三角形,求m n的值
= =快睡了,在线等,我很急,有人帮我吗,好人一生平安啊

Answer 1

顶点横坐标-b/2=1，b=-2,顶点纵坐标(4c-b²)/4=c-1=-4,c=-3,抛物线解析式为y=x²-2x-3.
(2).令x²-2x-3=0，得x=3或x=-1,抛物线与x轴交点为A(-1,0), B(3,0),
当P与B重合时，Q与原点O重合，AQ=AO=1,AP=AB=3-(-1)=4,APxAQ=4 ,符合题意，此时P点坐标为(0,3),
当P与B不重合时，Q与原点O不重合，过P作PM⊥x轴于M，O为原点，则△AQO∽△APM,OA/MA=QO/PM=AQ/AP,
设P,Q坐标分别为(x,x²-2x-3),(0,q),则OA=1，MA=1+x,
由OA/MA=QO/PM得，1/(1+x)=q/(x²-2x-3),q=(x²-2x-3)/(1+x)=(x+1)(x-3)/(1+x)=x-3≠0,
在直角三角形AQO中，斜边AQ=√(OA²+OQ²‎)=√[1+(x-3²‎],
AQ/OA=AP/MA=AQ,
AP=MA×AQ,AP×AQ=MA×AQ²,
4=(1+x)[1+(x-3²],
(1+x)(x-3)²+x-3=0,
(x-3)[(1+x)(x-3)+1]=0,,
(x-3)(x²-2x-2)=0,x-3≠0,(x-1)²-3=0,x=1+√3或x=1-√3,
当x=1±√3时，y=-1
P点坐标为(1+√3,-1)或(1-√3,-1),
综上P点坐标为(3,0)或(1+√3,-1)或(1-√3,-1)。
(3).过G作GN垂直x轴于N，则直线GN为平移前后两抛物线的对称轴，要使三角形AGB1为等腰直角三角形，只要GN=AN=NB1,
设B1坐标为(k,0),因为A(-1,0),N为AB1中点，所以N点坐标为((k-1)/2,0),G点横坐标为(k-1)/2,代入y=x²-2x-3,得纵坐标为[(x-1)²]/4-(k+1)-3,
因为AB1=k+1,GN=(AB1)/2=(k+1)/2,
所以[(x-1)²]/4-(k-1)-3=(k+1)/2或[(x-1)²]/4-(k-1)-3=-(k+1)/2,(k>0),
解得k-1=4或8，k=5或9,
即B1(5,0),A1(1,0)或B1(9,0),A1(5,0),
方程x²+mx+n=0的二根为1和5，或为5和9，
由根与系数关系得m=-(1+5)=-6,n=1×5=5，
或m=-(5+9)=-14,n=5×9=45.