Question

已知多组数据X,Y,如何用方程y=a+bx^2+cx^(-2)拟合得到a,b,c的值？

x=[27.270 32.529 32.699 34.495 37.975 38.317 43.219 46.551]
y=[3.0741 3.0867 3.0870 3.1061 3.1432 3.1449 3.2098 3.2627]
x实为一组频率值，数量级为10的14次方。y 为介电常数。

Answer 1

f(a,b,c)=Sum_{i=1->N}{y(i)-a-b[x(i)]^2 - c[x(i)]^(-2)}^2
0=df(a,b,c)/da = 2Sum_{i=1->N}{y(i)-a-b[x(i)]^2 - c[x(i)]^(-2)}(-1) ...(1)
0=df(a,b,c)/db = 2Sum_{i=1->N}{y(i)-a-b[x(i)]^2 - c[x(i)]^(-2)}{-[x(i)]^2} ...(2)
0=df(a,b,c)/dc = 2Sum_{i=1->N}{y(i)-a-b[x(i)]^2 - c[x(i)]^(-2)}{-[x(i)]^(-2)} ...(3)
解由(1),(2),(3)构成的关于a,b,c的三元一次方程组就可以求得a,b,c的值.

追问

不太明白，能给出拟合的程序与说明吗？

追答

这是个回归问题，
用残差的平方和最小最为拟合条件。
f(a,b,c) 就是损失函数。
要使得f(a,b,c)达到最小值，就要求f(a,b,c)的驻点。
对f(a,b,c)求偏导后，（1）~（3）为关于a,b,c的线性方程。
只要解这个线性方程就可以得到a,b,c的估计值了。