Question

设抛物线y²=4x上一点P到该抛物线准线与直线l:4x-3y+6=0的距离之和为d，若d取到最小值

设抛物线y²=4x上一点P到该抛物线准线与直线l:4x-3y+6=0的距离之和为d，若d取到最小值，则点P的坐标为_______

Answer 1

点P的坐标是(1/9,2/3)
过程如下
点P在抛物线上，所以点P到准线l的距离等于P到焦点的距离。
因此，当距离之和最小时，点P在 过焦点垂直l的直线上，由于点P在抛物线上，所以点P在直线与抛物线的交点处。
y^2=4x
y=-3/4x+3/4
解得x=1/9,y=2/3
所以点P(1/9,2/3)

Answer 2

点P就是过焦点F垂直于已知直线的直线与抛物线在焦点和已知直线之间的一个交点，答案：(16/9，2/3)。

Answer 3

由于点P到抛物线准线的距离等于P到焦点F（1,0）的距离，所以d最小即过焦点F与直线l：4x-3y+6=0垂直直线l’：3x+4y-3=0与抛物线的交点。取离l近的点为答案（16/9，2/3）。