Question

设函数的定义域为(0,+∞），且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0

（1）求f(1),f(1/2)的值
(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增
（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(an)+f[（an）+1]-1，n∈N+，求{an}通项公式

Answer 1

解：
(1)
令x＝y＝1，则可得f(1)＝0
再令x＝2，y＝1/2，得f(1)＝f(2)＋f(1/2)＝1＋f(1/2)＝0
∴f(1/2)＝－1
(2)
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)＋f(x2/x1)＝f(x2)
即f(x2)－f(x1)＝f(x2/x1)
∵x2/x1＞1
故f(x2/x1)＞0
即f(x2)＞f(x1)
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增
(3)
由f(Sn)＋1＝f(an)＋f[a(n＋1)]
∴f(Sn)＋f(2)＝f(an)＋f[a(n＋1)]
∴2Sn＝an•a(n＋1)，当n≥2时．
∴2S(n－1)＝a(n－1)•an，两式相减得：2an＝an²＋an－a(n－1)²－a(n－1)
∴[an＋a(n－1)][an－a(n－1)－1]＝0(n≥2)
∴an－a(n－1)＝1(n≥2)
∴an＝n

Answer 2

由f(xy)=f(x)+f(y)可知，该函数为log函数
由当x>1时,f(x)>0可知,log函数的底a>1
所以由f(2)=1可知，log函数的底a=2
（1）f(1)=0
f(1/2)=-1
(2)因为函数已经求出，只需将函数写出，根据log函数的性质可知（或者可以再证明一下，看你自己吧）
（3）将Sn和an分别代入log函数，可根据等式得出Sn=[an(an+1)/2],再根据Sn-Sn-1=an联立，求出an与an-1的关系则得解（第三问an与an-1的关系有难度，自己琢磨琢磨多动动脑筋吧）

Answer 3

设：x=1,y=2,因f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1,所以份f(2)=f(1)+f(2),故f(1)=0;设x=1/2,y=2,则f(1)=f(1/2)+f(2),故f(1/2)=-1;