Question

函数f(x)在点x=0处是否连续？是否可导？

函数f(x)={x^2sin(1/x),x不等于0在点x=0处是否连续？是否可导？为什么
{0 ,x=0

Answer 1

既连续又可导。注意到|sin(1/x)|<=1,所以lim_{x趋向0}|f(x)|<=lim_{x趋向0}x^2=0=f(0),所以连续。同理lim_{x趋向0}{f(x)-f(0)}/(x-0)=lim_{x趋向0}xsin(1/x)=0,即f(x)在0可导且导数为0.

Answer 2

因为lim(f(x)/x)存在所以当(x->0)时limf(x)=0（同阶无穷小）
又因为f（x）在x=0处连续所以f（0）=0（函数连续的定义）
所以：f'(0)=lim[f(x)-f（0）]/(x-0)=lim[f(x)/x](x->0)（用定义式求导数）
所以存在并且f'(0)=lim[f(x)/x](x->0)

Answer 3

可导是对的，但不连续。
若在x=0连续必须满足下列三个条件：
1、在x=0处有定义；
2、在x=0处有导数；
3、在x=0处的函数值与导数值相等。
这个第一条都不满足所以不连续。
可导要求：
1、左右极限存在；
2、左右极限值相等。
正如上面所说，sin(1/x)是有界的，无论从哪个方向趋向于0，
x^2都趋向于0，
即左右极限相等且等于0。