Question

常微分方程 微积分 积分∫1/x^2*√(1-x^2)

∫1/x^2*√(1-x^2)dx 帮忙算这个

Answer 1

可令x=sint，则dx=dsint。
则原式=∫1/sint2 dt=∫[(sint2+cost2)/ sint2]dt=∫(1+ cost2 / sint2) dt;
∫cost2 / sint2 dt= ∫cost d(sint) / sint2= ∫costd(-1/ sint)= -cost/ sint+∫(1/sint)﹒(-sint) dt= -cost/ sint-t+C;
则原式= -cost/ sint+ C；由x=sint知cot t=[（1-x2）/ x2] 1/2
因此原式=-[（1-x2）/ x2] 1/2+C

Answer 2

-√(1-x^2)/x-arcsinx+c
用分部积分法把它变成-∫√(1-x^2)d(1/x)
然后变成-{√(1-x^2)/x-∫(1/x)d(√(1-x^2))}
之后就变成这个答案了。

Answer 3

令x=siny，且y在[-pi/2, pi/2]上
则∫1/x^2*√(1-x^2)dx =∫1/(siny)^2*cosydsiny = ∫(ctg y)^2dy
= ∫1dy -∫ 1/(sin y)^2dy = y +ctgy +c
然后再把y=arcsinx待人既可