Question

2006年浙江高考数学理科选择题第10题怎么做

（10）函数f:|1,2,3| |1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
要详细解答，有理有据及逻辑性

Answer 1

解:显然元映射f(x)=x满足函数方程，是一个解。
常函数显然也是解，即f(x)=1，2或者3。3个解。
这四个是平凡解，下面求非平凡解。

设f(x)=y≠x,那么f(y)=f(f(x))=f(x)=y,
剩下z, 首先f(z)≠y，否则成常函数了。
其次，若f(z)=x,则f(x)=f(f(z))=f(z)=x,与f(x)=y≠x矛盾.
故必有f(z )=z
所以非平凡解有两个不动点，一个变动点.
动点有3选，并且动点可映射至两个不动点之一，故非平凡解共是2×3种。

所以满足函数方程的解函数f(x)共有1+3+6=10个。

Answer 2

D
可建立十个这样的函数
定义 f(x)=1(x=1,2,3)
f(x)=2(x=1,2,3)
f(x)=3(x=1,2,3)
有三个函数
定义f(x)=x
有一个函数
定义f(1)=f(2)=1或2
f(3)=3
可建立六个这样的函数
共十个

Answer 3

因为f(f(x))= f(x) 所以 f(x)=x
所以选D

Answer 4

Answer 5

选D.