Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD,F、G分别为BC、CD的中点，连接AF,FG，过D作DE∥GF交AF于点E。问题见下

1。证明：△AED≌△CGF。
2。若梯形ABCD为直角梯形，请判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。
3。在2的情况下，如要使四边形DEFG是正方形，则对梯形ABCD还须添加什么条件？是说明理由。

Answer 1

解答：
（1） 证明：
∵BC=2AD，点F为BC的中点，
∴CF=AD．
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠C，AF∥DC，
∴∠AFG=∠CGF．
∵DE∥GF，
∴∠AED=∠AFG，
∴∠AED=∠CGF
∴△AED≌△CGF；

（2）解：
结论：四边形DEFG是菱形．
证明如下：连接DF．
由（1）得AF∥DC，
又∵DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵AD∥BC，AD=BF=1/2BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴∠DFC=90°，
∵点G是CD的中点，
∴FG=DG=1/2CD，
∴四边形DEFG是菱形；

（3）要使四边形DEFG是正方形, 则∠C=45°
证明如下：
∵四边形DEFG是菱形
∴FG=DG=DE=EF
∴要使四边形DEFG是正方形，则
∴DE⊥EF，FG⊥DG
∴∠FDG=∠DFG=45°
∴∠C=45°

Answer 2

1、CF=1/2BC=AD
又因为AD∥CF，AFCD是平行四边形，所以AF∥CD。
因为DE∥FG，所以ED=FG
AFCD是平行四边形，所以DG=EF，所以AE=CG
根据“边边边”原理，△AED≌△CGF。
2、菱形。
连接DF，△DFC≌△ABF≌△ADE（证明略）
又因为：直角三角形的中线等于斜边的一半
FG=DG=DE=FG
3、如果FG⊥CD，那么DEFG就是正方形了。
也就是：△CFD是等腰三角形，DF=CF
也就是说DF=FC=AD

Answer 3

1. AD平行等于FC，所以AFCD是平行四边形，所以EAD=FCG，EF平行GD，又ED平行FG，故EFGD是平行四边形，所以DEF=DGF，所以AED=FGC，第一题得证~
2. DEFG是菱形，因为ADFB是矩形，DFC是直角，G为斜边中点，所以GF=DG，第一题已证DEFG是平行四边形
3.要正方形只需FG垂直CD，所以DCF是45度，即AB=AD

Answer 4

证明：
1.∵BC=2AD，F为BC中点
∴FC=1/2BC=AD
∵AD∥BC
∴四边形AFCD为平行四边形
所以，∠DAF=∠C，∠DEF=∠CGF
∵DE∥GF
∴∠DEA=∠FGC，所以△AED≌△CGF（角角边）
2作辅助线，连接DF
∵AD=BF，且AD∥BF
∴四边形ADFB为平行四边形
所以，∠DFB=∠DFC=90°
∵G为DC中点
∴在Rt△DFC中，FG=1/2DC=DG
∴□DEFG为菱形
3,这个条件很好加，例如 加条件 AB=BF

Answer 5

1 运用平行以及相似的原理
2 菱形 四边相等的平行四边形
3 梯形ABCD应该是直角且 AD=AB