Question

设函数f(x)的定义域是（0，正无穷）对于任意的正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时，f(x)>0,f(2)=-1

1，求f(1)和f(1/2)的值
2 求证f(x)在（0，正无穷）上是增函数

Answer 1

1.f(x)＜0的话是减函数啊！！！
当m=1时携简，有
f(n)=f(1×n)=f(1)+f(n)
∴f(1)=0
f(1)=f[2×(1/2)]=f(2)+f(1/2)=0
∴辩谈裤f(1/2)= -f(2)=1

2.
令x2＞x1＞0，则x2/x1＞1，则f(x2/x1)＜0
f(x2)-f(x1)
=f[x1×(x2/x1)]-f(x1)
=f(x1)+f(x2/x1)-f(x1)
=f(x2/x1)＜0
∴f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在（侍弯0，+∞）上是减函数。

其实就可以把f(x)看成对数函数。
下面有这题！！！

Answer 2

f（2）=f（1×2）伍迟=f（1）+f（2）
f（1）=0
f（1）圆歼=f（橘橘冲2×1/2）=f（2）+f（1/2）
f(1/2)=1

Answer 3

这个有点矛盾，不是f（x）在x大于1时，大于0吗
怎么f（2）=-1？

Answer 4

1.令m=2,n=1,所以f(2*1)=f(2)+f(1),所以f(1)=0，因为f(1)=f(2*(1/2))=f(2)+f(1/2),f(2)=-1,所以f(1/2)=1。2.令x2>x1>0,所以(x2/x1)>1.因为当x>裂枣大1时，f(x)>0，所以f(x2)-f(x1)=f(x1*(x2/x1))-f(x1)=f(x1)+f(x2/肆竖x1)-f(x1)=f(x2/x1)>0，即岩氏f(x2)>f(x1),即在（0，正无穷）上是增函数。

Answer 5

第一问很做吧
第二问就用增减的概念去证 西西 当年做过 可能没帮助

Answer 6

f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0
f(4)=f(2)+f(2)，所纳配以f(4)=-2
f(2)=f(1/2)+f(4),所以f(1/2)=1
当x>1时，f(x)>0,f(2)=-1是世带不是矛洞返指盾啊？

追问

不好意思啊，草错了，因该是f(x)<0,再帮忙看看，谢谢