Question

微分方程的通解

y'+y*cos(x)=1/2*sin(2*x)
简单的，但上课没听，现在不会了。。。

Answer 1

解：相应的齐次微分方程为
y'+y*cos(x)=0
=>y'=-y*cos(x)
=>dy/dx=-y*cos(x)
=>∫(1/y)dy=∫-cos(x)dx
=>lnlyl=-sinx+c
=>y=c*e^(-sinx)
设非齐次微分方程y'+y*cos(x)=1/2*sin(2*x)的通解为
y=c(x)*e^(-sinx) … …… …… …… 【1】
则y'=c'(x)*e^(-sinx)+c(x)*[e^(-sinx)]*(-cosx)
代入非齐次微分方程y'+y*cos(x)=1/2*sin(2*x)得
c'(x)*e^(-sinx)+c(x)*[e^(-sinx)]*(-cosx)+[c(x)*e^(-sinx)]*cos(x)=1/2*sin(2*x)
=>c'(x)*e^(-sinx)=1/2*sin(2*x)
=>c'(x)=[1/2*sin(2*x)]/[e^(-sinx)]
=>c'(x)=sinx*cosx*(e^sinx)
=>c(x)=∫sinx*cosx*(e^sinx)dx
=>c(x)=∫sinx*(e^sinx)d(sinx) 【令sinx=t】
=>c(x)=∫t*(e^t)dt
=∫td(e^t)=t*(e^t)-∫(e^t)dt=(t-1)*(e^t)+c
=>c(x)=(sinx-1)*(e^sinx)+c
代入【1】式得
y=[(sinx-1)*(e^sinx)+c]*e^(-sinx) =sinx-1+c*e^(-sinx)
即所求通解为y=sinx-1+c*e^(-sinx)

Answer 2

一阶微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解是y=e^(-∫P(x)dx)*[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
将P(x)=cos(x)，Q(x)=1/2*sin(2*x)代入通解中得：
y=sinx-1+e^(-sinx)

Answer 3

利用通解公式求y'+y cos x=1/2 sin 2x
P(x)=cosx Q(x)=sin2x/2
y=e＾-∫P(x)dx{∫Q(x)[e＾∫P(x)dx]dx+c}
y=e＾-∫cosxdx{∫sin2x/2[e＾∫cosxdx]dx+c}
=e＾-∫dsinx{∫sinxcosx[e＾∫dsinx]dx+c}
=e＾-sinx[∫sinxcosx(e＾sinx)dx+c]
=e＾-sinx[∫sinx(e＾sinx)dsinx+c]
=e＾-sinx[∫sinxd(e＾sinx)+c]
在∫sinxd(e＾sinx)（令sinx=t）=∫td(e＾t)=t(e＾t)-∫(e＾t)dt=t(e＾t)-e＾t)
（代入sinx=t）=sinx(e＾sinx)-e＾sinx
y==e＾-sinx[∫sinxd(e＾sinx)+c]
==(e＾-sinx)[sinx(e＾sinx)-e＾sinx+c]=sinx-1+ce＾(-sinx)(c为常数)

Answer 4

Answer 5

问老师