Question

已知：梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，AB=AD，联结BD（如图1),点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P

已知：梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，AB=AD，联结BD（如图1),点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动距离为x，BP=y。求证（1）：∠A=2∠CBD（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折现MNQ所示，试求CD长
（3）在（2）的情况下，点P从点A→B→C→D→A移动过程中，△BDP是否可能为等腰△？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值，若不能，请说明理由

Answer 1

(1)由AB=AD，所以∠ABD=∠ADB，因BC⊥AB，所以∠CBD=90-∠ABD，∠A=180-∠ABD-∠ADB=180-2∠ABD=2∠CBD
(2)由题可知，当P在A点时，AB=PB=5，设QQ'垂直x轴于Q'，则OQ'=8，则CD=NQ'=8-5=3。
(3)要使△BDP为等腰三角形，必有BP=DP，所以P在BD中垂线上，故作BD中垂线，由于AB=AD，则点A必在中垂线上，设中垂线交BC于E，即当P在A及E点时，△BDP为等腰三角形。
过D作DF垂直AB于F，则DF=BC=3，勾股定理可算AF=4，则BF=CD=AB-BF=5-4=1，由∠CED=∠CBD+∠BDE=2∠CED=∠BAC，∠ECD=∠CFA=RT∠，所以△ECD与△AFD相似，可算EC=4/3，则BE=3-4/3=5/3。
当P在A点时，x=(AB+BC+CD+DA)*n=(5+3+1+5)*n=14*n (n为非负整数)
当P在E点时，x=(AB+BC+CD+DA)*n+AB+BE=14*n+5+5/3

Answer 2

∠A+∠ADB+∠ABD=180
∠ABD+∠CBD=90
∠ABD=∠ABD
由以上三个等式可得出∠A=2∠CBD

Answer 3

ad=ab 推出角adb=abd
角cbd+角cdb=90° 推出 2角角cbd+2角cdb=180°
角cdb=角abd=角abd 推出2角cbd+2角adb=180°
角a+角adb+角bdc=180 推出角a=角cbd