如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，
【不好意思看到题目时太晚了】
请问原题是“如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是________
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=_______
吗？
答案：①√5：2 ②21
大致思路：①【如图（1）】
此小题与点C，O完全无关，纯粹是半圆中内接一个正方形 的问题
设半圆圆心P，连接PF，PE， 易知Rt△FPG≌Rt△EPD（HL）
∴PG=PD=½GD=½FG，
设GP=a，FG=2a， Rt△PFG中， PG²+FG²=PF²， 则PF=√5 a
故半圆的半径与正方形边长的比=√5a：2a=√5：2
②【如图（2）】
（注意，此题与第①题互相独立，所以F不一定在半圆上）
作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N， 连接OA，OB，EA，EB
易知正方形ONCM中， ON=NC=CM=OM=4
又 Rt△DBO≌Rt△NBO， Rt△DAO≌Rt△MAO
∴设BD=BN=x， AD=AM=y， 则直径AB=x+y，BC=x+4，AC=y+4
∵Rt△ABC中， 运用勾股定理， (x+y)²=(x+4)²+(y+4)²
化简得 8(x+y)+32=2xy， AB=x+y=¼xy-4
∵∠AEB=90°， 易知△EAD∽△BED
∴ED/BD=AD/ED， 即xy=ED²=100
∴AB=25-4=21
具体过程：
①【如图（1）】
设半圆圆心P，连接PF，PE，
∵⊙O中，FP=EP
又∵正方形DEFG中
∴∠FGP=∠EDP=90°
∴FG=ED
在Rt△FPG与Rt△EPD中
FP=EP
FG=ED
∴Rt△FPG≌Rt△EPD（HL）
∴PG=PD=½GD=½FG，
设GP=a，FG=2a，
∵Rt△PFG中，∠FGP =90°
∴PF²=PG²+FG²=a²+4a²=5a²
∴PF=√5 a
故半圆的半径与正方形边长的比=√5a：2a=√5：2
②【如图（2）】
作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N， 连接OA，OB，EA，EB
∵⊙P中，AB是直径
∴∠ACB=∠AEB=90°（直径对的圆周角90°）
∵OM⊥AC于M，ON⊥BC于N
∴∠OMC=∠ONC=∠MAN=90°
∴四边形ONCM是矩形
又∵O是△ABC内心
∴OD=DN=OM=4
∴矩形ONCM是正方形
∴NC=CM=OM=4
∵Rt△DBO≌Rt△NBO中
BO=BO
OD=ON
∴Rt△DBO≌Rt△NBO（HL）
∴设BD=BN=x
同理，Rt△DAO≌Rt△MAO
∴设AD=AM=y
∴直径AB=x+y，BC=x+4，AC=y+4
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴AB²=BC²+AC²
(x+y)²=(x+4)²+(y+4)²
化简得 2xy=8(x+y)+32=，
AB=x+y=¼xy-4
∵Rt△AED中，∠ADE=90°
∴∠EAD+∠AED=90°
∵∠BED+∠AED=∠ADE=90°
∴∠EAD=∠BED
在△EAD与△BED中
∠EAD=∠BED
∠EDA=∠BDE
∴△EAD∽△BED
∴ED/BD=AD/ED，
∴AD•BD=ED²
xy=ED²=S正EDFG=100
∴AB=¼xy-4=25-4=21
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