Question

一个空间几何体主视图,侧视图,俯视图都是直角三角形且面积之和为72求这个几何体的外接球的表面积的最小值

面积之和指的是主视图，侧视图，俯视图那三个直角三角形面积之和为72，最小值是144π，谁能把推导过程写出来，我需要，在下不胜感激！

Answer 1

根据题意可分析得出使这个几何体的外接球的表面积的最小值的条件是：
三个直角三角形都是等腰直角三角形，且面积相等。球心的在距离四个点的最短位置。
（作图可以直接用正方体取相邻三个面的对角线连接即可。因正方体内到各顶点距离最小的点在对角线的交点上，因此可知以该点为外接球的球心球的半径最小。）
设等腰直角三角形的直角边长为a，由三角形面积公式得:
(1/2)(a^2)×3=72
a^2 =48 (因面积用平方所以直接保留平方)
外接球的球心球的最小半径的平方:
R^2 = (a^2+a^2+a^2)/4 =3(a^2)/4 = 36
球的表面积: S=4πR^2=144π