Question

超级数学难题求解

我近日发现一个巧妙循环：
若给定任意正整数N1（比1大），分解质因数得其最大质数A1，后将A1带入F（X）=KX+B中，K、X均为任意正整数，得N2，再取其最大质数得A2，再代入一次函数F（X）=KX+B得到N3，再取N3最大质数A3......总之就是先取任意正整数，再取最大质数代入固定的系数为正整数的一次函数，去函数值最大质数再次代如同一一次函数运算，最后发现会在有限步运算内得到一个循环，即存在Ni=Nj，其中i不等于j， i，j均为正整数。而这循环数字个数与具体的数与K、B有关，与N1无关。
问题是如何用数论知识严谨证明我所说命题的正确性。（不用怀疑，我用计算器验证了N+1次了，比N次还多）
我悬赏200分，要是心情好可加更多。
但千万别不懂装懂，我要的是每步间都毫无差错的证明，数学是严谨！！
对不起,B也是正整数,打地太快,漏了! (循环未必要3项。两项的也行。）

Answer 1

计N1=22=2*11
f(x)=x-1
A1=10
N2=5
A2=4
N3=2
A3=2
N4=1
A4无解！（因为1没有质数！）

所以命题错误！

【补充】B也是正整数
你等等，我慢慢研究，这样命题应该是正确的。
【又补充】我不敢苟同kisscn5200 的做法
我虽然不大清楚你写的是什么，但是明显的是，当k和b为负时，命题是不成立的
而你的解法中根本没有出现k和b的符号。

f(x)=2x-1
起始数据为9
则2*3-1=5
2*5-1=9
那么循环是可以的
但是同样条件下，还是有不能形成的循环，如上面的

所以你的证法是有问题的。

【再补充】computer_jc 的证法果然厉害。
这种思路我恐怕是想不到的，
赞一个

Answer 2

hdc1hdc 说的错误的情况排除在外的话是可以证明的
我们设第n次得到的正整数是An，An得最大质因数为Pn
下面我要证明{An}有最大值。

若An<(K+B)^2
Pn<An=(K+B)^2
而A(n+1)=F(Pn)=KPn+B<KAn+B<K(K+B)^2

当An>=(K+B)^2时
因为Pn^2<=An
所以Pn<=K+B
而A(n+1)=F(Pn)=KPn+B<=K^2+KB+B<(K+B)^2=An
所以An之后有一项Am<=(K+B)^2

若N1>=(K+B)^2，那么N1之后有一项Am<(K+B)^2 (用反证法证明)

下面要证明Am之后的项有最大值，而前m-1项是有最大值的，就会得到{An}有最大值
根据上面证明的
若An<(K+B)^2，A（n+1）<K(K+B)^2
若An>=(K+B)^2，An之前总会有一项Ap<(K+B)^2 （这是显然的，比如Am）
设q是满足Aq<(K+B)^2且q<n的最大整数，也就是说Aq<(K+B)^2并且A(q+1)>=(K+B)^2并且
A(q+1)>A(q+2)>....>A(n)
而A(q+1)的前一项Aq<(K+B)^2，根据上面证明的A(q+1)<K(K+B)^2

也就是说，自Am之后得项都不超过K(K+B)^2！！
那么{An}最多可以取K(K+B)^2+m-1个数

那么{An}的前K(K+B)^2+m项中至少有2项是相同的
设这两项是Ap,Aq
那么(Ap,Ap+1,...Aq-1),(Aq,Aq+1,...A2q-p+1),...
这样便形成了循环

Answer 3

高考前不要做难题，怎么这么傻呢，高考不会出太难的题，一般都是综合性比较强的题，我建议你不要找答案了，好好把基础抓好就OK了，最后祝你考试成功

Answer 4

编个c语言程序运行一下马上就明白了。

Answer 5

楼主给我吧
照下面的方法计算一下：
第一步：取一个自然数n1=5，计算nl2+1，将所得结果记为a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；
…
依此类推，则a2008=26
根据题意，进行计算a1=26；因为2+6=8，所以a2=65；因为6+5=11，所以a3=122；因为1+2+2=5，所以a4=a1．发现：每3个一循环，则2008÷3=669…1，则a2008=a1=26．
解答：解：∵26，65，122每3个数一循环，2008÷3=669…1，
∴a2008=a1=26． 或第一步：取一个自然数n1=5，计算nl2+1，将所得结果记为a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；
…
依此类推，则a2008=26
根据题意，进行计算a1=26；因为2+6=8，所以a2=65；因为6+5=11，所以a3=122；因为1+2+2=5，所以a4=a1．发现：每3个一循环，则2008÷3=669…1，则a2008=a1=26．
解答：解：∵26，65，122每3个数一循环，2008÷3=669…1，
∴a2008=a1=26．
点评：此类题主要应根据要求进行正确计算，发现几个一循环，找到规律，再进行计算．