Question

如图，已知AB=AC，AD=AE，角BAC=角DAE=90°，M是BE中点，试说明AM⊥DC

如图，已知AB=AC，AD=AE，角BAC=角DAE=90°，M是BE中点，试说明AM⊥DC
（图中点M没标）

Answer 1

解：如上图，先做以AB=R1为半径的圆1，以AD=R2为半径作圆2(便于理解)

以A点为原点，作直角坐标系，设角BAD=β，角CAE=α，

因为β+角CAD=角BAC=90度，α+角CAD=角DAE=90度

所以α=β，

于是，A点坐标（0，0），B（-R1sinα,-R1cosα）,

C(R1cosα,-R1sinα),D(0,-R2),E(R2,0)

所以BE的中点M的坐标为（（R2-R1sinα）/2，-R1cosα/2）,

得向量AM=（（（R2-R1sinα）/2，-R1cosα/2），

CD=（- R1cosα，-R2+ R1sinα），

AM*CD=（R2-R1sinα）/2*（- R1cosα）+

（-R1cosα/2）*（-R2+ R1sinα）=0

所以AM垂直于CD

Answer 2

AM于CD的交点为点N,延长AM到F，使MF=AM
∵BM=EM
∴ABFE是平行四边形
∴BF=AE ∠ABF+∠BAE=180°
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠CAD+∠BAE=180°
∴∠ABF=∠CAD
∵BF=AE AD=AE
∴BF=AD
∵AB=AC
∴△ABF ∽△CAD
∴∠BAF=∠ACD
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠CAN=90°
∴∠ACD+∠CAN=90°
∴∠ANC=90°
∴AM⊥CD

Answer 3

很明显，∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝90°－∠CAD＝∠DAE－∠CAD＝∠CAE。
∵向量AM＝向量AB＋向量BM，　向量AM＝向量AE＋向量EM＝向量AE－向量ME，
∴2向量AM＝向量AB＋向量AE＋（向量BM－向量ME）
∵M是BE的中点，∴向量BE＝向量ME，∴2向量AM＝向量AB＋向量AE······①
而向量CD＝向量AC－向量AD······②
①②相乘，得：
2向量AM·向量CD＝向量AB·向量AC－向量AB·向量AD＋向量AE·向量AC－向量AE·向量AD，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴向量AB·向量AC＝0，向量AE·向量AD＝0，
∴2向量AM·向量CD＝向量AE·向量AC－向量AB·向量AD
＝｜向量AE｜·｜向量AC｜cos∠CAE－｜向量AB｜·｜向量AD｜cos∠BAD
∵AB＝AC，AD＝AE，∴｜向量AB｜＝｜向量AC｜，｜向量AD｜＝｜向量AE｜，
又∠BAD＝∠CAE，∴2向量AM·向量CD＝0，∴向量AM与向量CD垂直，即：AM⊥CD。