Question

高二数学概率

正四面体的各个顶点为A1,A2,A3,A4,进入某顶点的懂点X不停留在同一顶点处,每隔一秒向其他三个顶点以相同的概率移动,N秒后X在Ai(i=1,2,3,4)的概率用P(N)(N=0,1,2,3......)表示,当P1(0)=1/4,P2(0)=1/2,P3(0)=1/8,P4(0)=1/8
(1)求P2(1),P2(2)
(2)求P2(N)与P2(N-1)的关系(N为N﹡)
(3)求P2(N)关于N的表达试
(4)求P1(N)关于N的表达试

Answer 1

X不停留在同一顶点处,每隔一秒向其他三个顶点以相同的概率移动，所以，
每个时刻，X在点Ai的概率等于X在上一个时刻从其余3点移动到Ai的概率。
(1)P2(1)= (1/3)P1(0)+(1/3)P3(0)+(1/3)P4(0)=(1/3)[P1(0)+P3(0)+P4(0)]=(1/3)[1-P2(0)]=1/6
(2) 同样的，P2(N)=(1/3)P1(N-1)+(1/3)P3(N-1)+(1/3)P4(N-1)
=(1/3)[P1(N-1)+P3(N-1)+P4(N-1)]=(1/3)[1-P2(N-1)]

(3) P2(N)=(1/3)[1-P2(N-1)]=1/3 -(1/3)P2(N-1)=1/3 -(1/3)^2[1-P2(N-2)]
=1/3 - (1/3)^2 +(1/3)^2 P2(N-2)=1/3 - (1/3)^2 +(1/3)^3[1-P2(N-3)]
=1/3 - (1/3)^2 +(1/3)^3-(1/3)^3 P2(N-3)=......
=1/3 - (1/3)^2 +(1/3)^3-(1/3)^4+...+(-1)^N(1/3)^N P2(0)
=(1/3)[1-(-1/3)^N] /[1-(-1/3)] + (-1)^N(1/3)^N *(1/2)
= (1/4) [1+ (-1/3)^N]
= { (1/4) [1 - 1/3^N] N为奇数
｛(1/4) [1 + 1/3^N] N为偶数

(4) 同理，P1(N)=(1/3)[1-P1(N-1)]
所以，P1(N)
=1/3 - (1/3)^2 +(1/3)^3-(1/3)^4+...+(-1)^N(1/3)^N P1(0)
=(1/3)[1-(-1/3)^N] /[1-(-1/3)] + (-1)^N(1/3)^N *(1/4)
=1/3

高二整这个，有点难哦，老师尽变着法想着刁难学生哦。。。无良啊