一个正方形体容器的棱长是4cm,装满水后倒入另一个深6cm的圆锥形容器中，刚好倒满
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解设 Si 表示能看到 i 个面的正方体，（其中 i=1，2，3，4，5）则 有：
S1=42×3=48，S2=42×6=96，S3=42×2=32 S4=42×6=96，S5=42×3=48
所以：表面积为 S=S1＋S2＋S3＋S4＋S5=320（平方厘米）
这类题目要求同学在观察图形时必须具备一定的空间想象能力还要 细心．
三、长方体和正方体的体积 前面我们已经提到过日常生活中我们见过不少长方体形状的物体，
如家里的电冰箱，火柴盒．虽然它们都是长方体形状的物体，但它们在
家里占有空间的位置可大不一样，电冰箱比火柴盒占有的空间位置可大 的多．我们规定物体的体积就是物体占有空间位置的大小．我们用字母 V 表示长方体的体积，a，b，h 三个字母分别表示长方体的长、宽、高，则 长方体的体积公式为长方体的底面积乘以它的高即：V=a×b×h．因为正
方体中 a=b=h，所以正方体的体积公式是 V=a3．下面我们通过以下几道 例题看看如何应用它们的体积公式解决问题．
例 7 两根同样长的钢丝，一根做长方体的模型架子，另一根做正
方体模型的架子，已知长方体模型的长是 12 分米，宽是 9 分米，高是 6 分米，求哪个模型所代表的物体的体积大？大多少？（接头处略去不计） 分析 由已知可求出长方体棱长的总和而这个数字正好是正方体的
棱长总和，有了正方体的棱长正方体的体积便可以求出来．
解 因为长方体棱长总和=4×（12＋6＋9）=4×27=108（dm），所 以正方体的一条棱长=108÷12=9（dm），所以长方体的体积 V1=72×6×
9=648（dm3），正方体的体积 V2=93=729（dm3）V2-V1=729-648=81（dm3） 答：正方体模型所代表的体积大．大 81 立方分米．
例 8 有一块长方形铁皮长 24 厘米，宽 14 厘米，如图 15-12，剪掉
同样的四个角（阴影部分）再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，求这个 铁盒的容积？
分析 剪去四个角长为 24-4×2=16（cm）宽为 14-4×2=6（cm）高
为 4（cm）
解 V=16×6×4=384（cm3） 答：这个铁盒的容积是 384 立方厘米．
例 9 一个长方体水箱，水箱内长 12 分米，宽 8 分米，水深 4 分米， 现把水箱的水全部倒入一个棱长为 8 分米的一个正方体容器内，求倒入 水的高度是多少分米？
分析 此题的关键是抓住原来水的体积等于倒入正方体容器内水的 体积．
解 [（12×8×4）÷8]÷8=（384÷8）÷8
＝48÷8＝6（dm） 答：倒入正方体容器内水的高度是 6 分米．
例 10 一个长方体容器，从里面量，长为 50 厘米，宽 40 厘米，高
为 30 厘米，原来容器里的水面离容器口的距离是 4 厘米，现放入一个棱 长为 10 厘米的正方体铁块，求此时水面离容器口的距离是多少厘米？
分析 棱长为 10 厘米的正方体铁块放入容器后水面的高度上升，上 升水的体积就是铁块的体积．
解 V 铁=103＝1000（cm3）
水面上升的高度 h=1000÷50÷40=0.5（cm）
∴水面离容器口的距离是 4-0.5=3.5（cm）
例 11 一个正方体木块，在它的一个角上割去一个小正方体，如图
（15-13），问现在这个多面体表面积与以前的正方体表面积相比有无
变化？若小正方体的棱长是原大正方体棱长的 1 ，问小正方体的体积是
3
大正方体体积的几分之几？
分析 大正方体的角上割去一个小正方体后，表面积并没有发生变 化，只是体积减小了．
解 由图 15-13 可以看出割去一个小正方体后表面积没有发生变
化．设原正方体棱长为 x，则：
1
V （ x） 3
小正方体
= 3 = 1
V大正方体 x 27
所以，小正方体的体积是大正方体体积的 1 ．
27
关于长方体与正方体的计算题目有很多，我们从小学就开始学习， 以后还要继续学习，因为它们有很广泛的应用．这类题目的解法关键是 掌握好它们的基本性质和基本计算公式．
练习题十五
1．一个大长方形由 4 个小长方形组成，其中三个小长方形的面积比
是 4∶5∶8，求另一块小长方形的面积与原来大长方形的面积比？（见图
15-14）a∶b∶c=4∶5∶8
2．一块正方体形状的木料棱长为 2 分米，把它锯成 8 块大小相等的 正方体，求锯后表面积增加了多少？
3．一个长方体的长、宽、高的比是 3∶2∶1，它的棱长总和是 48 厘米，求此长方体的表面积？
4．某规划局计划挖一个能蓄水 3240 立方米的长方体形状的水池， 池面长 30 米，宽 24 米，则这个蓄水池至少深多少米？水池建成后，如 果蓄水 3.8 米深，每小时蓄水 48 立方米，需要蓄水多少分钟？
5．一个长方体玻璃缸，从里面量，它的长为 35 厘米，宽为 20 厘米， 现在水深为 12 厘米，当把一个零件浸没在水中时，水的高度上升至 15 厘米，求这个零件的体积？
6．一个长方体形状的汽油桶，将桶里的汽油倒入一个正方体形状的
容器内正好倒满，已知长方体汽油桶高 1 米，底面边长 0.8 米，宽为 0.64 米，求正方体容器的棱长？
第十六课 圆（一）
圆是一种平面图形，在日常生活中到处可见．如：圆桌、圆凳、盛 菜的圆盘、车辆的轱辘，以及游戏用的棋子、飞盘、呼啦圈等．由于圆 有着本身独特的性质，在某些地方是其他形状所不能代替的．车轱辘就 是一个很好的例子．
圆的形成是：当线段 OA 的端点 O 固定不动，然后线段 OA 绕 O 运动 一周，另一端点 A 所经过的封闭曲线就是圆．固定点 O 叫做这个圆的圆 心；线段 OA 的长叫做这个圆的半径．通常圆心用字母 O 表示，半径用字
母 R 或 r 表示．此外我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直 径，直径通常用字母 d 表示．而圆上的任意两点连结的线段叫做弦，显 然最长的弦就是圆的直径．
圆还具有两种对称性：（1）圆的点对称性（或叫做中心对称性）， 即圆周上任意一点，关于圆心都有一个对称点，所谓对称点就是这两个 点到圆心的距离相等，并且这两个点都在过圆心的直线上．图 16-1 中点
A 与点 B；点 C 与点 D 都是这样的对称点．
当把一个圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就能够完 全重合．这就是圆的特性（2）圆的轴对称性（即若一个图形沿某一条直 线对折直线两边的部分能够完全重合，则这个图形称为关于这条直线的 轴对称图形），圆的每一条直径都是它的对称轴．
有了圆的概念，自然就会想到圆周长和圆所围成的面积．我们作一
个半径为 r 的圆，然后用一根绳子绕圆一周，发现绳子的长是圆半径的 六倍多，也就是直径的三倍多．如果我们将半径换成具体数字，也相应 量绳子的具体长度，我们就会算出圆周长与圆直径的比值（圆直径除圆 周长）是一个无限不循环小数 3.1415926??这就是“圆周率”，即圆的 周长等于圆的直径与圆周率的乘积．如果用字母 C 表示圆周长，字母π 表示圆周率，那么有：
C=πd 或 C=2πr
这就是圆的周长公式．下面再看看圆的面积．在圆内作圆内接正多 边形（即顶点在圆周上，各边长相等的多边形），如图 16-2 所示，圆内 接正多边形的面积小于圆面积，但当正多边形的边数增加时，正多边形 的面积就越来越接近圆的面积．这个圆内接正多边形的面积是由若干个 小三角形的面积相加得到的，这在图 16-2 上看得很清楚．换句话说，圆 内接正多边形的周长（各边长之和）当边数增加时，它就越来越近圆的 周长，所以我们可以利用这个重要的特点来求得圆的面积．三角形的面
积应该是底乘高的一半，若把组成圆内接正多边形的所有三角形的面积 相加就得到了圆面积的近似值．如图 16-3，a 表示三角形的高，l
表示正多边形的边长之和，即正多边形周长，那么这些三角形的面积之 和，即正多边形的面积就等于：S 正=al，其中 S 正代表正多边形面积，由 于当正多边形边数很多时，l 近似于圆周长 2πr，a 近似于圆半径 r，所
以 S 正就相似等于圆面积 S；要得 S 的精确值，只需将 l 换成 2πr，a 换
成 r 即可，如此得到圆面积公式： S＝r·2πr=πr2
即，圆面积等于半径的平方与圆周率的乘积．
下面我们来看几道例题．
例 1 一个圆把平面分成两部分，两个圆最多可以把平面分成四部 分，如图 16-4 所示，字母 A，B，C，D 分别表示四个部分．问四个圆最 多把平面分成几部分？
分析 我们知道了两个圆至多将平面分成四部分，这是由于两个圆
相交后形成的，若两个圆不相交，则只能将平面分成三部分．仿此作法， 我们将四个圆都相交，即可得到所求结果．
解 将四个圆相交，如图 16-5 所示，则可知四个圆最多可以将平面
分成十四部分．
例 2 一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看 要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里， 豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧紧地盯着小狗，在池边跟着小狗跑 动，准备在小狗游上岸时抓住它．豹子的奔跑速度是小狗游水速度的 2.5 倍，问小狗有没有办法在它游上岸时，不被豹子抓住．
分析 很显然，如果小狗沿着池塘游，伺机上岸，那么不管它游到哪， 豹子都会跟到哪，这样，小狗一上岸就会被豹子抓住．如果小狗跳下水 后沿池塘直径游，等它游到岸边时，豹子也早已在那等候了．这是因为， 虽然小狗游的是直线，豹子跑的是曲线，即小狗是顺着直径游，豹子是 沿着半圆周跑．但由于半圆周只是直径的倍（约为 1.57 倍），而豹子的 速度却是小狗游水速度的 2.5 倍，小狗还是逃不掉．
解 小狗要脱离险境就必须利用豹子只能沿池塘边跑的特点，拉大自 己的路程与豹子的路程的差距，小狗跳下池塘后先游到池塘的中心，看 准豹子此时所在的位置，然后朝相反方向游，如图 16-6，A 是小狗下水 的位置，B 是豹子的位置，C 是小狗将要上岸的位置．这样就在小狗游 OC
的距离（即半径长）而豹子却要跑半个圆周，这是半径的π倍（约 3.14 倍）．尽管豹子的速度是小狗游水速度的 2.5 倍也晚了．
例 3 如图 16-7，三角形 ABC 是直角三角形，AB 是圆的直径，并且 AB=20 厘米．如图阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米，求出 BC 的长度．（π取 3.14）
分析 依题意“阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米”，那么 半个圆的面积就比三角形 ABC 的面积大 7 平方厘米（这是因为Ⅰ、Ⅱ加 上一个相同的部分，就成了一个半圆和一个三角形，差不变）．
解 三角形的面积 = 1 ×AB×BC = 1 ×20 ×BC
2 2
=10×BC
=半圆面积-7
= 1 ×π×（ 20 ） 2 - 7 = 157 - 7
2 2
=150（平方厘米）
所以 BC=150÷10=15（厘米）
例 4 如图 16-8，三角形 ABC 为等腰直角三角形，D 是 AB 的中点，AB=20 厘米，圆弧 GD、HD 是分别以 A、B 为圆心所作，求图中阴影部分的面积．（π
取 3.14）
分析 从图上看要求得阴影部分的面积，就要用四分之一圆面积减去 它所包含的小三角形面积，然而要求出小三角形的面积仅用同学们现有 的知识是做不到的．而是要根据圆的特性，利用图形的旋转变换将图 16-8 变成图 16-9 的样子（即沿 CD 裁开，以 D 为轴旋转，使 AD 边与 BD 边重 合），此时阴影面积就等于半圆面积减去所含三角形 AEF 的面积．
解 三角形 ABC 是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，则∠
EAF=∠CAD＋∠CBD=90°，三角形 EAF 是直角
三角形且AE = AF = 圆半径 = 10 厘米，即三角形EAF的面积 = 1 ×10×
2
10=50（平方厘米）则
阴影面积 = 1 ×π×102 - 50
2
= 1 ×3.14×102 - 50 = 107（平方厘米）
2
例5如图16 - 10，有一个直径为 20 厘米的圆，在圆直径上有一条
π
曲线，它是由五个半圆弧构成，五个半圆的圆心都在圆直径 AB 上，求这 条曲线长．
分析 要求的曲线长，实际上就是五个小半圆弧长之和，即要求出每 个小半圆弧长．这从题目所给的已知条件上看，是不大可能的，所以我 们还要用圆本身的特点．
解 由题意，五个半圆的圆心都在大圆的长径上，即五个半圆的直径
与大圆直径在同一条直线上，并且五个半圆直径之和等于大圆的直径．
设 a，b，c，d，e 分别为五个半圆的直径，则 a＋b＋c＋d
＋e = 20 （cm）
π
由圆周长公式 c=πd
则半圆周长为 πd
2
曲线弧长 = πa ? πb ? πc ? πd ? πe
2 2 2 2 2
π
= （a＋b＋c＋d＋e）
2
π 20
= × = 10（cm）
2 π
例 6 如图 16-11 甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的五分之三，甲 圆内阴影部分面积占甲圆面积的三分之一，乙圆阴影部分的面积占乙圆 面积的二分之一，丙圆内阴影 P 分面积占丙圆面积的四分之一，那么甲 乙两圆面积之比是多少？
分析 从题目所给的条件，无法直接求出甲和乙两个圆的面积值，而 题目所求的是它们的面积的比值，所以只需要找出甲乙两圆存在的关
系，再从中找出它们的比值．我们注意到甲、乙两圆的阴影面积之和为 丙圆的阴影面积，所以应用等量关系：
1 （甲圆面积）＋ 1 （乙圆面积） = 1 （丙圆面积）
3 2 4
解 设甲、乙、丙三个圆的面积分别为 a、b、c，则由已知条件有：
3
a＋b = c与
5
1 a ? 1 b ? 1 c
3 2 4
在第一个等式两边同乘以 5 ，得到 5 a + 5 b = c；在第二个等式两边
3 3 3
同乘以4 ，得到 4 a + 2b = c
3
即 5 a ? 5 b ? 4 a ? 2b
3 3 3
于是得（ 5 ? 4 ）a ? （2 ? 5 ）b 即a = b
3 3 3
所以，甲圆与乙圆的面积之比为 1∶1．
练习题十六
1．环形的外圆 O1 和内圆 O2 的周长分别为 250 厘米和 150 厘米，如
图 16-12，求环形的宽 x？
2．求图 16-13 中阴影部分的周长（精确到 0.01）
3．已知直角三角形 ABC 中三边边长分别为 AB=5 厘米，AC=4 厘米， BC=3 厘米（图 16-14），分别以这三边为直径画圆，求阴影面积？
4．图 16-15 是两个边长分别为 6 厘米，4 厘米的正方形，求阴影面 积．
5．求图 16-16 中阴影部分的面积．（长度单位：毫米，保留整数）
第十七课 圆（二）
我们了解了圆之后，就可以进一步研究一个圆的局部，也就是圆的 一部分的特点和性质，如图 17-1，这是圆的一部分，它的形状就象一把 打开的扇子，所以我们称它为扇形．
扇形也有弧长、面积两个量，这两个量都与扇形中弧的度数（或者 说弧所对应的圆心角的度数，即如图 17-1 中∠AOB 的度数）有关．我
们设扇形的弧是n°，那么扇形弧的长度为： π·n·R ，其中R
180
是扇形的半径．扇形的面积为： π·n·R
360
这是因为将圆分成360
等份，每一份都是一个小扇形，如图 17-2，此时小扇形的弧是 1°的弧，
πR 2
它的长应该是
360
（把圆周长分成360等份），那么n°弧就是取n份
2
故得 πRn ．同理，1°弧所对应的小扇形面积应是 πR
，那么n°弧
180
2
360
所对应的扇形面积是 nR n ．我们用字母l表示弧长，用S表示面
360
积，得到公式：
πRn πR 2 n
l = ， S =
扇 180
扇 360
从以上两个公式我们还可以发现：S = 1 Rl
扇 2 扇
现在我们若将图 17-1 中 A、B 两点连一条线段，则把扇形分成了两 部分，下面是一个三角形，上面的图形我们称之为弓形．（图 17-3）
S1=42×3=48，S2=42×6=96，S3=42×2=32 S4=42×6=96，S5=42×3=48
所以：表面积为 S=S1＋S2＋S3＋S4＋S5=320（平方厘米）
这类题目要求同学在观察图形时必须具备一定的空间想象能力还要 细心．
三、长方体和正方体的体积 前面我们已经提到过日常生活中我们见过不少长方体形状的物体，
如家里的电冰箱，火柴盒．虽然它们都是长方体形状的物体，但它们在
家里占有空间的位置可大不一样，电冰箱比火柴盒占有的空间位置可大 的多．我们规定物体的体积就是物体占有空间位置的大小．我们用字母 V 表示长方体的体积，a，b，h 三个字母分别表示长方体的长、宽、高，则 长方体的体积公式为长方体的底面积乘以它的高即：V=a×b×h．因为正
方体中 a=b=h，所以正方体的体积公式是 V=a3．下面我们通过以下几道 例题看看如何应用它们的体积公式解决问题．
例 7 两根同样长的钢丝，一根做长方体的模型架子，另一根做正
方体模型的架子，已知长方体模型的长是 12 分米，宽是 9 分米，高是 6 分米，求哪个模型所代表的物体的体积大？大多少？（接头处略去不计） 分析 由已知可求出长方体棱长的总和而这个数字正好是正方体的
棱长总和，有了正方体的棱长正方体的体积便可以求出来．
解 因为长方体棱长总和=4×（12＋6＋9）=4×27=108（dm），所 以正方体的一条棱长=108÷12=9（dm），所以长方体的体积 V1=72×6×
9=648（dm3），正方体的体积 V2=93=729（dm3）V2-V1=729-648=81（dm3） 答：正方体模型所代表的体积大．大 81 立方分米．
例 8 有一块长方形铁皮长 24 厘米，宽 14 厘米，如图 15-12，剪掉
同样的四个角（阴影部分）再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，求这个 铁盒的容积？
分析 剪去四个角长为 24-4×2=16（cm）宽为 14-4×2=6（cm）高
为 4（cm）
解 V=16×6×4=384（cm3） 答：这个铁盒的容积是 384 立方厘米．
例 9 一个长方体水箱，水箱内长 12 分米，宽 8 分米，水深 4 分米， 现把水箱的水全部倒入一个棱长为 8 分米的一个正方体容器内，求倒入 水的高度是多少分米？
分析 此题的关键是抓住原来水的体积等于倒入正方体容器内水的 体积．
解 [（12×8×4）÷8]÷8=（384÷8）÷8
＝48÷8＝6（dm） 答：倒入正方体容器内水的高度是 6 分米．
例 10 一个长方体容器，从里面量，长为 50 厘米，宽 40 厘米，高
为 30 厘米，原来容器里的水面离容器口的距离是 4 厘米，现放入一个棱 长为 10 厘米的正方体铁块，求此时水面离容器口的距离是多少厘米？
分析 棱长为 10 厘米的正方体铁块放入容器后水面的高度上升，上 升水的体积就是铁块的体积．
解 V 铁=103＝1000（cm3）
水面上升的高度 h=1000÷50÷40=0.5（cm）
∴水面离容器口的距离是 4-0.5=3.5（cm）
例 11 一个正方体木块，在它的一个角上割去一个小正方体，如图
（15-13），问现在这个多面体表面积与以前的正方体表面积相比有无
变化？若小正方体的棱长是原大正方体棱长的 1 ，问小正方体的体积是
3
大正方体体积的几分之几？
分析 大正方体的角上割去一个小正方体后，表面积并没有发生变 化，只是体积减小了．
解 由图 15-13 可以看出割去一个小正方体后表面积没有发生变
化．设原正方体棱长为 x，则：
1
V （ x） 3
小正方体
= 3 = 1
V大正方体 x 27
所以，小正方体的体积是大正方体体积的 1 ．
27
关于长方体与正方体的计算题目有很多，我们从小学就开始学习， 以后还要继续学习，因为它们有很广泛的应用．这类题目的解法关键是 掌握好它们的基本性质和基本计算公式．
练习题十五
1．一个大长方形由 4 个小长方形组成，其中三个小长方形的面积比
是 4∶5∶8，求另一块小长方形的面积与原来大长方形的面积比？（见图
15-14）a∶b∶c=4∶5∶8
2．一块正方体形状的木料棱长为 2 分米，把它锯成 8 块大小相等的 正方体，求锯后表面积增加了多少？
3．一个长方体的长、宽、高的比是 3∶2∶1，它的棱长总和是 48 厘米，求此长方体的表面积？
4．某规划局计划挖一个能蓄水 3240 立方米的长方体形状的水池， 池面长 30 米，宽 24 米，则这个蓄水池至少深多少米？水池建成后，如 果蓄水 3.8 米深，每小时蓄水 48 立方米，需要蓄水多少分钟？
5．一个长方体玻璃缸，从里面量，它的长为 35 厘米，宽为 20 厘米， 现在水深为 12 厘米，当把一个零件浸没在水中时，水的高度上升至 15 厘米，求这个零件的体积？
6．一个长方体形状的汽油桶，将桶里的汽油倒入一个正方体形状的
容器内正好倒满，已知长方体汽油桶高 1 米，底面边长 0.8 米，宽为 0.64 米，求正方体容器的棱长？
第十六课 圆（一）
圆是一种平面图形，在日常生活中到处可见．如：圆桌、圆凳、盛 菜的圆盘、车辆的轱辘，以及游戏用的棋子、飞盘、呼啦圈等．由于圆 有着本身独特的性质，在某些地方是其他形状所不能代替的．车轱辘就 是一个很好的例子．
圆的形成是：当线段 OA 的端点 O 固定不动，然后线段 OA 绕 O 运动 一周，另一端点 A 所经过的封闭曲线就是圆．固定点 O 叫做这个圆的圆 心；线段 OA 的长叫做这个圆的半径．通常圆心用字母 O 表示，半径用字
母 R 或 r 表示．此外我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直 径，直径通常用字母 d 表示．而圆上的任意两点连结的线段叫做弦，显 然最长的弦就是圆的直径．
圆还具有两种对称性：（1）圆的点对称性（或叫做中心对称性）， 即圆周上任意一点，关于圆心都有一个对称点，所谓对称点就是这两个 点到圆心的距离相等，并且这两个点都在过圆心的直线上．图 16-1 中点
A 与点 B；点 C 与点 D 都是这样的对称点．
当把一个圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就能够完 全重合．这就是圆的特性（2）圆的轴对称性（即若一个图形沿某一条直 线对折直线两边的部分能够完全重合，则这个图形称为关于这条直线的 轴对称图形），圆的每一条直径都是它的对称轴．
有了圆的概念，自然就会想到圆周长和圆所围成的面积．我们作一
个半径为 r 的圆，然后用一根绳子绕圆一周，发现绳子的长是圆半径的 六倍多，也就是直径的三倍多．如果我们将半径换成具体数字，也相应 量绳子的具体长度，我们就会算出圆周长与圆直径的比值（圆直径除圆 周长）是一个无限不循环小数 3.1415926??这就是“圆周率”，即圆的 周长等于圆的直径与圆周率的乘积．如果用字母 C 表示圆周长，字母π 表示圆周率，那么有：
C=πd 或 C=2πr
这就是圆的周长公式．下面再看看圆的面积．在圆内作圆内接正多 边形（即顶点在圆周上，各边长相等的多边形），如图 16-2 所示，圆内 接正多边形的面积小于圆面积，但当正多边形的边数增加时，正多边形 的面积就越来越接近圆的面积．这个圆内接正多边形的面积是由若干个 小三角形的面积相加得到的，这在图 16-2 上看得很清楚．换句话说，圆 内接正多边形的周长（各边长之和）当边数增加时，它就越来越近圆的 周长，所以我们可以利用这个重要的特点来求得圆的面积．三角形的面
积应该是底乘高的一半，若把组成圆内接正多边形的所有三角形的面积 相加就得到了圆面积的近似值．如图 16-3，a 表示三角形的高，l
表示正多边形的边长之和，即正多边形周长，那么这些三角形的面积之 和，即正多边形的面积就等于：S 正=al，其中 S 正代表正多边形面积，由 于当正多边形边数很多时，l 近似于圆周长 2πr，a 近似于圆半径 r，所
以 S 正就相似等于圆面积 S；要得 S 的精确值，只需将 l 换成 2πr，a 换
成 r 即可，如此得到圆面积公式： S＝r·2πr=πr2
即，圆面积等于半径的平方与圆周率的乘积．
下面我们来看几道例题．
例 1 一个圆把平面分成两部分，两个圆最多可以把平面分成四部 分，如图 16-4 所示，字母 A，B，C，D 分别表示四个部分．问四个圆最 多把平面分成几部分？
分析 我们知道了两个圆至多将平面分成四部分，这是由于两个圆
相交后形成的，若两个圆不相交，则只能将平面分成三部分．仿此作法， 我们将四个圆都相交，即可得到所求结果．
解 将四个圆相交，如图 16-5 所示，则可知四个圆最多可以将平面
分成十四部分．
例 2 一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看 要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里， 豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧紧地盯着小狗，在池边跟着小狗跑 动，准备在小狗游上岸时抓住它．豹子的奔跑速度是小狗游水速度的 2.5 倍，问小狗有没有办法在它游上岸时，不被豹子抓住．
分析 很显然，如果小狗沿着池塘游，伺机上岸，那么不管它游到哪， 豹子都会跟到哪，这样，小狗一上岸就会被豹子抓住．如果小狗跳下水 后沿池塘直径游，等它游到岸边时，豹子也早已在那等候了．这是因为， 虽然小狗游的是直线，豹子跑的是曲线，即小狗是顺着直径游，豹子是 沿着半圆周跑．但由于半圆周只是直径的倍（约为 1.57 倍），而豹子的 速度却是小狗游水速度的 2.5 倍，小狗还是逃不掉．
解 小狗要脱离险境就必须利用豹子只能沿池塘边跑的特点，拉大自 己的路程与豹子的路程的差距，小狗跳下池塘后先游到池塘的中心，看 准豹子此时所在的位置，然后朝相反方向游，如图 16-6，A 是小狗下水 的位置，B 是豹子的位置，C 是小狗将要上岸的位置．这样就在小狗游 OC
的距离（即半径长）而豹子却要跑半个圆周，这是半径的π倍（约 3.14 倍）．尽管豹子的速度是小狗游水速度的 2.5 倍也晚了．
例 3 如图 16-7，三角形 ABC 是直角三角形，AB 是圆的直径，并且 AB=20 厘米．如图阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米，求出 BC 的长度．（π取 3.14）
分析 依题意“阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米”，那么 半个圆的面积就比三角形 ABC 的面积大 7 平方厘米（这是因为Ⅰ、Ⅱ加 上一个相同的部分，就成了一个半圆和一个三角形，差不变）．
解 三角形的面积 = 1 ×AB×BC = 1 ×20 ×BC
2 2
=10×BC
=半圆面积-7
= 1 ×π×（ 20 ） 2 - 7 = 157 - 7
2 2
=150（平方厘米）
所以 BC=150÷10=15（厘米）
例 4 如图 16-8，三角形 ABC 为等腰直角三角形，D 是 AB 的中点，AB=20 厘米，圆弧 GD、HD 是分别以 A、B 为圆心所作，求图中阴影部分的面积．（π
取 3.14）
分析 从图上看要求得阴影部分的面积，就要用四分之一圆面积减去 它所包含的小三角形面积，然而要求出小三角形的面积仅用同学们现有 的知识是做不到的．而是要根据圆的特性，利用图形的旋转变换将图 16-8 变成图 16-9 的样子（即沿 CD 裁开，以 D 为轴旋转，使 AD 边与 BD 边重 合），此时阴影面积就等于半圆面积减去所含三角形 AEF 的面积．
解 三角形 ABC 是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，则∠
EAF=∠CAD＋∠CBD=90°，三角形 EAF 是直角
三角形且AE = AF = 圆半径 = 10 厘米，即三角形EAF的面积 = 1 ×10×
2
10=50（平方厘米）则
阴影面积 = 1 ×π×102 - 50
2
= 1 ×3.14×102 - 50 = 107（平方厘米）
2
例5如图16 - 10，有一个直径为 20 厘米的圆，在圆直径上有一条
π
曲线，它是由五个半圆弧构成，五个半圆的圆心都在圆直径 AB 上，求这 条曲线长．
分析 要求的曲线长，实际上就是五个小半圆弧长之和，即要求出每 个小半圆弧长．这从题目所给的已知条件上看，是不大可能的，所以我 们还要用圆本身的特点．
解 由题意，五个半圆的圆心都在大圆的长径上，即五个半圆的直径
与大圆直径在同一条直线上，并且五个半圆直径之和等于大圆的直径．
设 a，b，c，d，e 分别为五个半圆的直径，则 a＋b＋c＋d
＋e = 20 （cm）
π
由圆周长公式 c=πd
则半圆周长为 πd
2
曲线弧长 = πa ? πb ? πc ? πd ? πe
2 2 2 2 2
π
= （a＋b＋c＋d＋e）
2
π 20
= × = 10（cm）
2 π
例 6 如图 16-11 甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的五分之三，甲 圆内阴影部分面积占甲圆面积的三分之一，乙圆阴影部分的面积占乙圆 面积的二分之一，丙圆内阴影 P 分面积占丙圆面积的四分之一，那么甲 乙两圆面积之比是多少？
分析 从题目所给的条件，无法直接求出甲和乙两个圆的面积值，而 题目所求的是它们的面积的比值，所以只需要找出甲乙两圆存在的关
系，再从中找出它们的比值．我们注意到甲、乙两圆的阴影面积之和为 丙圆的阴影面积，所以应用等量关系：
1 （甲圆面积）＋ 1 （乙圆面积） = 1 （丙圆面积）
3 2 4
解 设甲、乙、丙三个圆的面积分别为 a、b、c，则由已知条件有：
3
a＋b = c与
5
1 a ? 1 b ? 1 c
3 2 4
在第一个等式两边同乘以 5 ，得到 5 a + 5 b = c；在第二个等式两边
3 3 3
同乘以4 ，得到 4 a + 2b = c
3
即 5 a ? 5 b ? 4 a ? 2b
3 3 3
于是得（ 5 ? 4 ）a ? （2 ? 5 ）b 即a = b
3 3 3
所以，甲圆与乙圆的面积之比为 1∶1．
练习题十六
1．环形的外圆 O1 和内圆 O2 的周长分别为 250 厘米和 150 厘米，如
图 16-12，求环形的宽 x？
2．求图 16-13 中阴影部分的周长（精确到 0.01）
3．已知直角三角形 ABC 中三边边长分别为 AB=5 厘米，AC=4 厘米， BC=3 厘米（图 16-14），分别以这三边为直径画圆，求阴影面积？
4．图 16-15 是两个边长分别为 6 厘米，4 厘米的正方形，求阴影面 积．
5．求图 16-16 中阴影部分的面积．（长度单位：毫米，保留整数）
第十七课 圆（二）
我们了解了圆之后，就可以进一步研究一个圆的局部，也就是圆的 一部分的特点和性质，如图 17-1，这是圆的一部分，它的形状就象一把 打开的扇子，所以我们称它为扇形．
扇形也有弧长、面积两个量，这两个量都与扇形中弧的度数（或者 说弧所对应的圆心角的度数，即如图 17-1 中∠AOB 的度数）有关．我
们设扇形的弧是n°，那么扇形弧的长度为： π·n·R ，其中R
180
是扇形的半径．扇形的面积为： π·n·R
360
这是因为将圆分成360
等份，每一份都是一个小扇形，如图 17-2，此时小扇形的弧是 1°的弧，
πR 2
它的长应该是
360
（把圆周长分成360等份），那么n°弧就是取n份
2
故得 πRn ．同理，1°弧所对应的小扇形面积应是 πR
，那么n°弧
180
2
360
所对应的扇形面积是 nR n ．我们用字母l表示弧长，用S表示面
360
积，得到公式：
πRn πR 2 n
l = ， S =
扇 180
扇 360
从以上两个公式我们还可以发现：S = 1 Rl
扇 2 扇
现在我们若将图 17-1 中 A、B 两点连一条线段，则把扇形分成了两 部分，下面是一个三角形，上面的图形我们称之为弓形．（图 17-3）
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