Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A（3.0）、B（2.-3）、C（0.-3）。

（1）求此函数的解析式及图像的对称轴
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动，设运动时间为t秒；
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰三角形，
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围：当t为何值时，S有最大值或最小值。

Answer 1

解：
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0，-3），
∴c=-3，
将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax2+bx+c
0=9a+3b-3
-3=4a+2b-3
解得a=1,b=-2
∴y=x2-2x-3
即y=(x-1)²-4，
所以对称轴为x=1

（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t，
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA，
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，
即QE=AD=1．
又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1，
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF=MG，
∴点M为FG的中点，
∴S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN
由S四边形ABFG=(BF+AG)FG/2=9/2
S△BPN=(1/2)BP*FG/2=3t/40
∴S= 9/2-3t/40
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．

Answer 2

解：
（1）将A B C三点坐标带入方程得
0=9a+3b+c；-3=4a+2b+c；-3=c
解得a=1，b=-2，c=-3
y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4
所以对称轴x=1
（2）
①四边形为等腰三角形我就不明白了..
平行四边形倒是可以：3-0.1t=0.1t 得t=15秒以后四边形ABPQ为平行四边形
等腰梯形也行：P Q两点坐标为（3-0.1t，0）（-2+0.1t，-3），求两点距离等于AB的距离
解方程(3-0.1t-(-2+0.1t))^2+(0-3)^2=(3-2)^2+(0-(-3))^2得t=5
②S=S直角梯形ABCO-S直角梯形OQPC-△NPB
=(AO+BC)OC/2-(OQ+CP)OC/2-PB*0.5OC/2
=(3+2)3/2-2*3/2-0.075t
=4.5-0.075t
t的取值范围[0,20]
S分别在t=0和t=20取到最大、最小值分别为4.5、3