Question

计算 由曲面Z=x^2+2y^2，Z=6-2x^2-y^2围成的体积 能否把图形画出来 并且我不懂

为什么解的时候要∫∫(D) [(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy，这个式子啥意思

Answer 1

Z=x^2+2y^2是个扁的旋转抛物面，开口向上，你可以根据方程的性质来想象他的图像，
Z=x^2+2y^2当x=0时，z=2y^2,说明图形在yOz平面上是条抛物线，令y=0可以看出图像在xOz平面也是一条抛物线。而在同一高度平面上(如令z=k)，x^2+2y^2=k是个椭圆，可以看出图形是个扁的旋转抛物面。
同样Z=6-2x^2-y^2是一个开口向下的旋转抛物面，可以算出两个物体的交线在xOy平面上的投影x^2+2y^2=6-2x^2-y^2，
也即x^2+y^2=2，是个圆。
∫∫(D) [(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy就是用二重积分求体积了，积分区域D是x^2+y^2=2。
就是D上每处高度值之和，有点像一重积分求面积那样，自己去领悟吧。

Answer 2

两曲面的交线在xy坐标面上的投影曲线是x^2+y^2＝2，所以整个立体在xy面上的投影区域是d：x^2＋y^2≤2
体积v＝∫∫(d)
[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
用极坐标
＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)
(2－ρ^2)ρdρ＝6π