Question

已知{an}满足an+1=2an+3×5^n a1=6,,求数列an的通项公式

Answer 1

如果我没理解错你的题意是a(n+1)=2an+3*5^n
待定函数法：（思想同待定系数，只不过这个系数变成了一个关于n的函数）
设 a(n+1)+f(n+1)=2(an+f(n))
上式打开a(n+1)=2an+( 2f(n)-f(n+1))
因此 2f(n)-f(n+1) = 3*5^n
现在我们的目标就是找出f(n)的表达式
由观察可知表达式中一定有5^n ，并且它前边有一个系数，我们不妨设这个系数为x
那么得到 2x*5^n-x5^(n+1)=3*5^n
上式打开 2x*5^n-5x*5^n=3*5^n
解得x=-1
所以f(n)=-5^n
那么a(n+1)+f(n+1)=2(an+f(n))把f(n)代入其中得到
a(n+1)-5^(n+1) = 2(an-5^n)
移项构造等比数列： [a(n+1)-5^(n+1)]/[an-5^n]=2
在此设bn=an-5^n 那么上式转化为b(n+1)/bn=2 很明显的一个等比数列
b1=a1-5^1 = 1
等比数列公式代入 bn= 2^n-1
即an-5^n=2^n-1
整理得到an=5^n+2^n-1
完毕

Answer 2

递推公式两边同除以2^(n+1)，所以a(n+1)/2^(n+1)－an/2^n＝3×5^n/2^(n+1)＝3/2×(5/2)^n。
所以
an/2^n－a(n-1)/2^(n-1)＝3/2×(5/2)^(n-1)
a(n-1)/2^(n-1)－a(n-2)/2^(n-2)＝3/2×(5/2)^(n-2)
.............................
a2/2^2－a1/2＝3/2×(5/2)
相加得an/2^n＝a1/2＋3/2×(5/2＋....＋(5/2)^(n-1))，所以an＝2^(n-1)＋5^n

Answer 3

a(n+1)=2an+3×5^n, 设：a(n+1) +x*5^(n+1) = 2[ an +x*5^n]
对比后得 x=-1,所以
a(n+1) - 5^(n+1) = 2[ an - 5^n]
数列{an - 5^n}成等比数列，公比为 2, 首项为 a1- 5=1
an - 5^n = 1* 2^(n-1)
an = 2^ (n-1) + 5^ n