Question

急！！！求正整数的最大值，使不等式(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/3n+1）＞a-7,对一切正整数n都成立。

老师让我们同学共同讨论该题，后天才给答案。但我们讨论了很久都做不出来，请高手给出详细解答过程及步骤，因为高考的缘故，希望尽快得到答案~答得好的，视其具体情况额外再追加悬赏分10~50分~

Answer 1

设f(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)
则f(n+1) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/[3(n+1)+1]
= 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+4)
则f(n)-f(n+1) = 1/(n+1) - [1/(3n+2) + 1/(3n+3) + 1/(3n+4)]
= 1/(n+1) - [1/(3n+3)+(3n+2+3n+4)/((3n+2)(3n+4))]
= 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+2)(3n+4))]

【(3n+2)(3n+4)=9n^2+18n+8<9n^2+18n+9=(3n+3)^2.
所以1/((3n+2)(3n+4))>1 /((3n+3)(3n+3))……应用到下式】

f(n)-f(n+1)< 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+3)(3n+3))]
= 1/(n+1) - [1/(3n+3) + 2/(3n+3)]
= 1/(n+1) - 3/(3n+3)
= 0
因为f(n)-f(n+1)<0说明数列f(n)递增
因此数列f(n)的最小值等于f(1) = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12
因为f(n)>a-7对所有自然数n成立
所以只要13/12>a-7,
解得a<97/12.
所以正整数a的最大值是8.

Answer 2

[[[注:有一个公式,一般称为"欧拉公式"
欧拉公式:
1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+.....+(1/n)=(lnn)+γ (γ称为欧拉常数,γ≈0.577....) ]]]]
解:
由欧拉公式可得:
[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+.....+[1/(3n+1)]
={[ln(3n+1)]+γ}-{[lnn]+γ}
=[ln(3n+1)]-[lnn]
=ln[(3n+1)/n]
=ln[3+(1/n)]--->ln3
∴应有a-7＜ln3
a＜7+ln3≈8.0986
∴(a)max=8
[[[注:
构造数列{an}
an=[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+...+[1/(3n+1)]. n=1,2,3.....
易知,
[a(n+1)]-(an)
=2/[(3n+2)(3n+3)(3n+4)]＞0
∴数列{an}是递增数列.
∴由题设,必须有
a-7≤a1=(1/2)+(1/3)+(1/4)=13/12
∴a≤7+(13/12)≈8.08
∴(a)max=8

追问

O(∩_∩)O谢谢，您的解答过程真专业，不过我们学文科的，好像没接触过什么欧拉公式，复杂ing

追答

第二种方法啦。