Question

在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形，则

在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有多少个？请根据直角坐标系的特点用代数方法解决
，并注明详细步骤，谢谢

Answer 1

若AB是直角边，则满足条件的有4个点（1，5），（1，-3），（11，5）（11，-3）
若AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高，由射影定理，得，
4^2=(x-1)(11-x)
解得x1=3,x2=9
所以有（3，5），（9，5）
根据对称性，得另外两点（3，-3）（9，-3）
所以共有8个点符合要求

追问

过C作AB边上的高，由射影定理，得，
4^2=(x-1)(11-x)
这一步我不明白，还请解答，谢谢

追答

若AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高CE，
由△ACE∽△CBE,得，
AE/CE=CE/BE,
即CE^2=AE*BE
这就是射影定理，代人得，
4^2=(x-1)(11-x)