Question

已知函数f(x)=a^x+x^2-xIna,a>1。对∨x1,x2∈[-1.1]，（f(x1)-f(x2)）的绝对值≤e-1恒成立，求a的取值范围

已知函数f(x)=a^x+x^2-xIna,a>1。对∨x1,x2∈[-1.1]，（f(x1)-f(x2)）的绝对值≤e-1恒成立，求a的取值范围
∨表示对任意

Answer 1

更正一下上楼（国一肥肥）的答案，倒数第三行错了，这一行最后一步e-1差不多为1.718怎么可能小于1哪。因为a>1，所以lna大于0，还是看他的答案,中的过程得出f(-1)>f(1),即只看
f(-1)-f(0)=a^-1+lna<e-1,对f(a)=a^-1+lna求导得(a^-1)-(a^-2)恒大于0，因此递增，因此只看其等于e-1的时候的a值即可，即a^-1+lna=e-1，但是恕我无能，这个方程我不会解，假设它的解为b，则a的取值范围是（1，b）。也许有更好的办法能做得出来，那就抱歉拉

Answer 2

f'(x)=(a^x-1)lna+2x，
讨论：
1、若0<a<1
当-1<=x<0时，f'(x)<0，f(x)单调减；当x=0时，f'(x)=0，f(x)取得极小值f(0)=1；当0<x<=1时，f'(x)>0，f(x)单调增。

依题意有|f(-1)-f(0)|<=e-1且|f(1)-f(0)|<=e-1，即|1/a+lna|<=e-1且|a-lna|<=e-1
令g(a)=1/a+lna,h(a)=a-lna，则g'(a)=(a-1)/a^2，h'(a)=1-1/a，可见g(a)与h(a)在（0,1）均单调减，在a=1时取得极小值，在(1,+∞)单调增，而g(1/e)=e-1，h(1/e)<e-1
解得1/e<a<1；
2、若a=1

f(x)=1+x^2，依题意|f(x1)-f(x2)|<=f(1)-f(0)=1<e-1
3、若a>1，与1中讨论的情况类似，解得1<a<e
综上所述1/e<a<e。（原题中第一问限定了a>1，第二问是没有的）

Answer 3

这题好像a无解啊，
求导后发现f(x)在[-1,0]内递减，在[0,1]内递增
f(0)最小，f(0)=1
f(-1)=a^(-1)+1+lna
f(1)=a+1-lna
f(-1)-f(0)=a^(-1)+lna>=1+ln1=1>e-1
f(1)-f(0)=a-lna>=1-ln1=1>e-1
所以a无解