Question

定义在R+上的函数f(x),满足条件①对定义域的任意x、y都有f(x)+f(y)+f(xy)②当x>1时，f(x)>0

(1)求证：f(1/x)=-f(x);(2)求证f(x)在R+上单调递增（3）若f(m+1)>f(1-2m),求实数m的取值范围

Answer 1

【1】f(x)+f(y)=f(xy)
if：x=y=1,2f(1)=f(1),f(1)=0
y=1/x
f(x)+f(1/x)=f(1)=0
f(1/x)=-f(x)
【2】设x>y>0,则x/y=k>1,1/y=k/x,f(k)>0
f(x)-f(y)=f(x)+f(1/y)=f(x)+f(k/x)=f(x)+f(k)+f(1/x)=f(x)+f(k)-f(x)=f(k)>0
f(x)在R+上是增函数。
【3】f(m+1)>f(1-2m)
定义域：m+1>0;1-2m>0
单调性：m+1>1-2m
解这个不等式组：0<m<1/2

Answer 2

(1)f(x)+f(y)=f(xy)
x=0,y=1推出f(1)=0
x=x,y=1/x推出(1)
(2)x<xy作差法f(x)-f(xy)=-f(y)，证明f(y)>0
(3)用前两部结论，代入求值

Answer 3

题抄错了 ？是满足F(x)+F（Y）=F（XY）？。。
（1） 令Y=1/X 带入有 F（X）+F（1/X）=F(1) 而令X=Y=1带入可知 F(1)=0 从而有-F(x)=F(1/x)
(2)设X1 X2均属于R+ 且X2大于X1 令X=X2 Y= 1/X1 则有 F(X2)+F(1/X1)=F(X2/X1) 由一问的推导可知 F(1/x1)=-F(X1) 且 X2/X1大于1 从而有 F(X2 )-F(X1)大于0 在结合X2大于 X1 知F(X)在R+上位增函数
（3）由上问知 F(X)在R+上为增函数 知 若有 1-2M和 M+1均大于 0的话 则有1+M>1-2M 可知 M大于0 我不知道是否还有在R-的时候的情况 但是 电脑上打字太麻烦了 就到这里了 不好意思

Answer 4

（1）令x=1，y=1得f（1）=0
令y=1/x得f（1/x)=-f(x)
(2) 令y>1则f（x）+f（y）=f（xy）>f(x)
有xy>x即对任意y>x均有f（y）>f（x）
所以f（x）在R+单调递增
（3）由（2）m+1>1-2m
解得m>2/3

Answer 5

(1)f(1)+f(1)=f(1),所以f(1)=0 因为 f(1/x)+f(x)=f(1)=0, 所以f(1/x)=-f(x)
(2)任取0<x1<x2,由（1）知，f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)>0, f(x2)>(x1) 所以f(x)在R+上单调递增
(3)由（2）知m+1>0且1-2m>0且m+1>1-2m，所以0<m<1/2

Answer 6

F(0)+f(1)=f(0)所以f(1)=0.f(1/x)+f(x)=f(1)=0.移项后所以第一问得证，则易得第二问（由正负符号关系和X大于0时F(x)大于0得)。然后由单调性解m+1>1-2m,同时注意定义域，得0<m<1/2