Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(-x)=-f(x),当x∈(0,1)时f(x)=2∧x/4∧x+1

(1)求f(1)与f(2)的值（2）求f(x)在[1,2]上的解析式（3）求证：f(x)在（0,1）上是减函数

Answer 1

条件应该是x∈[0,1]
(1) f(1)=2^1/(4^1+1)=2/5
f(2)=f(0+2)=f(0)=2^0/(4^0+1)=1/2
(2) ∵1<x<2
∴0<-x+2<1
∴f(x)=-f(-x)=-f(-x+2)=-2^(2-x)/4^(-x+2)+1
(3) ∵f'(x)=[2^xln2*(4^x+1)-4^xln4*2^x]/(4^x+1)^2
=2^xln2(4^x+1-2*4^x)/(4^x+1)^2
=2^xln2(1-4^x)/(4^x+1)^2≤0
∴f(x)在（0,1）上是减函数

Answer 2

1),f(-0)=-f(0)
f(0)=0
f(2)=f(0+2)=f(0)=0
f(1)=f(-1+2)=f(-1)=-f(1)
f(1)=0
2）1<x<2,-2<-x<-1
0<-x+2<1
f(x)=-f(-x)=-f(-x+2)=-2^(2-x)/4^(-x+2)+1
3)f(x)在（0,1）上是减函数

Answer 3

（1），周期函数，奇函数；
因f(x+2)=f(x) 将x=-1代入得 f（1）=f（-1）
又因f（-x）=f（x）将x=1 代入得f（-1）=-f（1） 所以f（1）=f（-1）=0
因为f（0）=0 所以f（2）=0
（2），（这一问打字太麻烦了 略去 需要第二问的话 追问一下）
（3），f（x）=2∧x/4∧x+1=（1/2）^x+1 因为1/2﹤1，所以（1/2）^x+1 在（0，1）上递减

Answer 4

周期为2，函数关于原点对称。。2∧x/4∧x，，这是什么东东，