Question

怎样求三角函数下的三角形面积？

在三角形ABC中，内角ABC分别对应边abc，c=2，C=60度。
若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求三角形ABC的面积。
要求写出具体计算过程

Answer 1

解：
∵sinC＋sin(B－A)＝sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A＝4sinAcosA
∴sinBcosA＝2sinAcosA
当cosA＝0时，A＝π/2，B＝π/6，a＝4√3/3，b＝2√3/3
当cosA≠0时，得sinB＝sin2A，由正弦定理得b＝2a
联立方程组
a²＋b²－ab＝4
b＝2a
解得：a＝2√3/3，b＝4√3/3
∴S△ABC＝1/2absinC＝2√3/3

Answer 2

SinC+Sin(B-A)=2sin2A
sin（B+A）+sin(B-A)=2sin2A
sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2*2sinAcosA
化简得 ：sinBcosA = 2sinAcosA

若 cosA=0 ， 即 A=90° 则三角形ABC为Rt三角形
则 a=4√3/3 b =2√3/3
S = 1/2 * ab cosC = 2√3/3

若 cosA 不为 0 则 sinB =2sinA 则 b=2a
因为 余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 则 a= 2√3/3 b = 4√3/3
S= 1/2 * ab cosC = 2√3/3

Answer 3

解：因为sinC=sin(A+B)
由sinC+sin(B-A)=2sin2A,即sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A.
根据正弦和的分解公式以及倍角和公式化简：左边=2sinBcosA
右边=2sinAcosA
约去cosA得：sinA=sinB.
因为A、B均为三角形内角，所以A=B
由C=60度，知道A=B=60度。三角形为等边三角形，面积为1/2*2*2*sin60=根号3.
注：‘*’表示的是乘号。

Answer 4

由于A+B+C=π 所以sinC=sin(A+B) sin2A=2sinAcosA
所以sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A 推出 sinB=2sinA 有正弦定理得b/2R=2a/2R
得b=2a C=60°cos60=(a^2+b^2-c^2)/2ab 由于b=2a cos60=0.5
所以a=2/（根号3） b=4/（根号3）
由于S=1/2absin60=（1/2）*【2/（根号3）】*【4/（根号3）】*【(根号3）/2】
= 2/3根号3

Answer 5

SinC+sin(B-A)=2sin2A
Sin(B+A)+sin(B-A)=2sin2A
2sinBcosA=4sinAcosA
sinB=2sinA
1、cosA=0 ，A=90° a=4√3/3 b =2√3/3
S = 1/2 * ab cosC = 2√3/3

2、若 cosA 不为 0。sinB =2sinA ，b=2a
c2=a2+b2-2abcosC
a= 2√3/3 b = 4√3/3
S= 1/2 * ab cosC = 2√3/3