Question

设实对称矩阵A=1 -2 0 -2 2 -2 0 -2 3 求正交矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵.

Answer 1

做特征值分解就好了。
求A的特征值，即det(A-λI)=0，可得 λ=5，2，-1
所以，A-5I= -4 -2 0
-2 -3 -2
0 -2 -2
所以，特征向量为 c(1,-2,2), 取长度为1的，得 (1/3, -2/3, 2/3)^T (T为转置)
A-2I= -1 -2 0
-2 0 -2
0 -2 1
所以，特征向量为 c(-2,1,2), 取长度为1的，得 (-2/3, 1/3, 2/3)^T
A+I=2 -2 0
-2 3 -2
0 -2 4
所以，特征向量为 c(2,2,1), 取长度为1的，得 (2/3, 2/3, 1/3)^T

所以，P=1/3 -2/3 2/3 P^(-1)AP=5 0 0
-2/3 1/3 2/3 0 2 0
2/3 2/3 1/3 0 0 -1