Question

高中一道数学题

已知函数f(x)=a^x+x^2-xIna,a>1。对∨x1,x2∈[-1.1]，（f(x1)-f(x2)）的绝对值≤e-1恒成立，求a的取值范围
∨表示任意

Answer 1

这应该是高三的复习题吧？！
解:由题意，f '(x)=(a^x)lna+2x-lna;令g(x)=f '(x);则g '(x)=(a^x)lnalna+2>0;故f '(x)在[-1,1]上单调递增，则f '(-1)<=f '(x)<=f '(1)即(lna)/a-2-lna<=f '(x)<=alna+2-lna;记k=|f(x1)-f(x2)|;
(1)当(lna)/a-2-lna>=0时,a无解;
(2)当alna+2-lna<=0时,a无解;
故(lna)/a-2-lna<0且alna+2-lna>0,即f '颤唤(x)在[-1,1]有且仅有一个零点,f(x)在[-1,1]上单调性为先减后增.令f '(m)=0(其中-1<m<1)即a^m+2m-lna=0(计算难，先放一边);
又maxf(x)=max(f(-1),f(1));令p(a)=f(1)-f(-1)=a-1/a-2lna【p(a)用于判断f(x)最大值是f(-1)还是f(-1)】;则p '(a)=(1/a-1)^2>=0,故p(a)单调递增,则p(a)>p(1)=0;则f(1)>f(-1);
故|f(x1)-f(x2)|<=f(1)-f(m)<=e-1;
结合a^m+2m-lna=0得h(m)=f(1)-f(m)=-m^2+m(2+lna)+(a+1-2lna)【二次函数】;
得max(h(m))=a-3lna-(lna)*(lna)/4;【接下来就是解方程a-3lna-(lna)*(lna)/4<=e-1了】
【还是设函数，高中题就是这样，很容易搞晕】
令A=a-3lna-(lna)*(lna)/4;则A'=1-3/a-(lna)/(2a);
。。。。。。。。。。。。。
其实我自己也受不了这计算了，去年时对于计算复杂的我都直茄陪凯接跳过，太懒呵呵！我还要写高数作业，下面计算还是很复杂。楼主就自己想吧。【应该我过程中忽略了什么东西】我去年复习时也遇过这样乱租，但都是觉得思路懂了就行，就没再想。哎！

Answer 2

恒成立即f(x)在[-1,1]的最大值减卖旁最小值≤e-1。.
对原中陆橡函数求导得f(x)=lna(a∧x-1)+2x (∧表示次方） ---------------------------A
讨论a≥1与0<x<1两种情况，发现无论哪种情况，均有当0<x≤1时A式大于0；当-1≤x≤0是A式小于悉厅0，因此原函数的单调性可知，最大最小值也就可知了
下面就教给你了。

Answer 3

真的老了~都看不懂了~！上帝啊~！

Answer 4

|^x1-a^x2+x1^2-x2^2-x1lna+x2lna|=e-1先化简求导看看吧，要停电了，再说吧

Answer 5

像这种题直接找老师哦，他还能给你一些解题思路！

Answer 6

解：由原式可得
|f(x1)-f(x2)|<=(a^X1-a^X2)+(X1-X2)(X1+X2-lna)<=e-1
分灶陪解因式后采用基本不等式来做裂知一下隐源蠢吧