Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b,若函数 在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围?

Answer 1

f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，所以在区间(-1,1)上f'(x)不可能保持恒定的符号
f'(x)的图像是开口向上的抛物线，要达到上述条件须有：f'(x)的图像与x轴有两个交点，且至少有一个交点在区间(-1,1)内。
f'(x)=(x-a)(3x+a+2)，令f'(x)=0，得两根： x1=a,x2= -(a+2)/3
所以，应有：a≠ -(a+2)/3
且 -1<a<1 或-1<(a+2)/3 <1
得： a≠ -1/2且 -1<a<1 或 -5<a<1
所以当 a∈(-1,-1/2)∪(-1/2,1)时，即可满足条件
再对两根分别等于边界值的情况，即x1=1(或 -1)，x2=1(或 -1)，计算可知，均不符合要求
综上，a∈(-1,-1/2)∪(-1/2,1)

Answer 2

一、分析：直接求不单调时a的取值范围难于下手，这时从反面可能简单一些：即求在给定定义域范围内函数单调时a得取值范围，这样就转化为分析f(x)的导函数的问题了；
二、对函数f(x）求导得，f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)；（德尔塔=16a^2+16a+4，恒大于等于0）
三、要使函数单调则需使f'(x)满足在给定定义域内恒大于等于0或者恒小于等于0，这样一来，问题又转化成了一元二次方程与x轴的位置关系的问题了；[方程的两个根为X1=a和X2=-(a+2)/3]
四、当f'(x)在给定定义域内恒大于等于0时，当德尔塔=0时，即a=-1/2，满足条件；
当德尔塔大于0时，即a大于-1/2，X1>-1/2,X2<-1/2,
由一元二次方程与x轴的位置关系
得出不满足条件；
当f'(x)在给定定义域内恒小于等于0时，按照上述方法类似可求出a的取值范围（因为手上没带纸笔，就到这儿了，下面的你应该知道怎么做了）

Answer 3

导数f '(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
x1=[(a-1)-|2a+1|]/3 x2=[(a-1)+|2a+1|]/3
当2a+1≥0，即a≥-1/2时，x1= - (a+2)/3 x2=a
①x1<-1且x2>1。得a>1
②x1≥-1且x2>1.得a≤-1,a>1矛盾
③x1<-1且x2≤1.得a>1，a≤1矛盾
当2a+1<0，即a<-1/2时，x1=a,x2= - (a+2)/3
①x1<-1且x2>1。得a< -5
②x1≥-1且x2>1.得a<-5,a≥-1矛盾
③x1<-1且x2≤1.得 -5≤a< -1
综上：a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 4

据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即 -1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，

综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝

Answer 5

f'(x)=3x²+2(1-a)x-a(a+2)
=(x-a)[3x+(a+2)]
若a=-(a+2)/3,a=-1/2
则f'(x)=3(x-1/2)²>=0
此时在R上是单调函数，不合题意

a≠-1/2
f'(x)=0有两个不等的根

在(-1,1)不单调
即有增函数，也有减函数
所以导数在此范围内有正有负
所以f'(x)=0的根在这个范围内

f'(x)=(x-a)[3x+(a+2)]
两根是x=a,x=-(a+2)/3
则-1<a<1或-1<-(a+2)/3<1

-1<-(a+2)/3<1
-3<a+2<3
-5<a<1

综上
-5<a<-1/2,-1/2<a<1