Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E、F在AC上，且DF交BE于G，角FGE=45°。

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E、F在AC上，且DF交BE于G，角FGE=45°。
（1）BG*BE与BD*BC相等吗？为什么？
（2）试说明AG⊥BE
（3）若E为AC的中点，求FE：FD的值。

图：
http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/12/80/12/2158128012.2046473272.png

Answer 1

证明：（1）BG×BE与BD×BC相等 

连接AD 

∵ AB=AC， ∠BAC=90° 

∴∠ABC=∠C=45° 

∵∠BGD=∠FGE=45° （对项角） 

∴∠C=∠BGD 

∵GBC=∠GBC 

∴△GBD∽△CBE 

∴ BD/BE=BG/BC 

即BD×BC=BG×BE 

（2）∵ BD×BC=BG×BE 

∴BG= BD×BC/BE= （1/2）BC×BC/BE= AB^2/BE 

∴ AB/BG= BE/AB ∠ABG=∠EBA 

∴△ABG∽△EBA 

∴∠BGA=∠BAE=90° 

∴AG⊥BE 

（3）∵∠FGE=45° AG⊥BE 

所以: GF是∠AGE的平分线 

∴ EF/AF=EG/AG 

又∵ AE^2=EG×BE ∴ EG=AE^2/BE 

∴ EF/AF=EG/AG=AE^2/（EB×AG） 

=AE^2/(AE×AB)=AE^2/(AE×2AE)=1/2 

所以:EF= (1/3)AE，连接ED,则:DE=(1/2)AB=AE， DE⊥AC 

所以:DF^2=DE^2+EF^2=(√10/3)AE 

∴EF：FD=1：√10