Question

在三角形ABC中，a+b+c=√2+1，且sinA+sinB=√2sinC,若∠C=60°，求△ABC的面积

Answer 1

运用正弦定理，比例的性质得
a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=(√2+1)/[(√2+1)sinC]=1/sinC＝2√3/3
所以c=1
∠C=60°
A+B=120
sinA+sinB=√2sinC=√6/2＝2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]
cos[(A-B)/2]=√2/2
(A-B)/2＝45
A－B＝90
A＝105，B＝15
sin105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=（√3/2+1/2）*√2/2＝（√6+√2）/4
a/sinA=c/sinC
a=(3√2+√6）/6
b=1-a=(6-3√2-√6）/6
S△ABC＝1/2absinC=1/2*(3√2+√6）/6*(6-3√2-√6）/6*√3/2
a/sinA=b/sinB＝(a+b)/(sinA+sinB)＝√2/（√6/2）＝

感觉用的方法不对。

Answer 2

因为sinA+sinB=√2sinC，根据正弦定理得，a+b=√2c
与a+b+c=√2+1联立，解得c=1
又根据余弦定理，cosC=（（a+b）^2-2ab-c^2)/2ab=0.5，解得,ab=1/3
所以，S△ABC=0.5×a×b×sinC=√3/12