Question

在等腰直角梯形ABCD中,AD平行BC,AC⊥BD,DF⊥BC于F,MN是梯形中位线,求证MN=DF

图
有点难看，凑乎看吧

Answer 1

作DE平行于BD交BC的延长线于点E，
由AC⊥BD，得DE⊥BD。
由AD平行BC，DE平行BD得，四边形ACED是平行四边形，
所以，AD=CE，AC=DE。
在等腰梯形中，因为AC=BD，所以，BD=DE
再由DF⊥BC，知F是BE的中点，于是，DF=BE/2=（BC+AD）/2，
因为MN是梯形ABCD的中位线，所以，MN=（BC+AD）/2，
所以，MN=DF。

Answer 2

（AD+MN）×（DF/2）/2+（MN+BC）×（DF/2）/2=（AD+BC）×DF故MN=（AD+BC）/2
作BC中点E，AD中点G，则GD=EF，即DF=BF=BE+EF=BE+GD=（AD+BC）/2
故DF=MN

Answer 3

过D点作DE//AC
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AD//CE
∵AC//DE
∴四边形ACED为平行四边形
∴AC=DE=BD
∵AC⊥BD
∴BD⊥DE
∵DF⊥BE
∴DF=1/2 BE
∵MN为四边形ABCD中位线
∴MN=1/2(AD+BC)=1/2(BC+CE)=1/2BE
∴MN=DF