Question

求初一截长补短的几何证明题。

Answer 1

已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC。
分析：直接证明PA=PB+PC，困难较大。可用截长法：在PA上截取PD=PB，再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段，再证明PA与这条线段相等）。
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB，连接BD，
∵ △ABC是圆O的内接等边三角形，∴ BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵ ∠BPA=∠BCA，
∴∠BPA=60°。
∴ △BPD是等边三角形。
∴ BD=BP，∠DBP=60°。
∴ ∠ABD=∠CBP。
∴ △ABD≌△CBP。
∴ PC=DA。
又∵ PA=PD+DA，
∴ PA=PB+PC。
证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC，连接CD，
∵ △ABC是圆内接等边三角形，∴ AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵ ∠BPA=∠BCA，∠ABC=∠APC，
∴ ∠BPA=60°=∠APC。∴ ∠CPD=60°。
∴ △CPD是等边三角形。
∴ CD=CP ∠DCP=60°。∴ ∠ACP=∠BCD。
∴ △ACP≌△BCD。∴ PA=BA。
又∵ BD=PD+BP，∴ PA=PB+PC。